[Scienza delle Costruzioni] Esercizio sistema di travi

[marcook]

Ciao a tutti, ho bisogno disperato di aiuto su un esercizio…in particolare non riesco a capire come ricavare le caratteristiche della sollecitazione nel tratto DE (e quindi CD) perché per come tento di trovarle io non torna con la soluzione dell’esercizio. Qui di seguito scrivo per filo e per segno tutti i passaggi che faccio, anche quelli che mi tornano con la soluzione dell’esercizio.
Ecco lo schema della struttura:



Si nota che la struttura è antisimmetrica rispetto all’asse passante per i punti D ed F, per cui per trovare le caratteristiche della sollecitazione è possibile sfruttare tale propietà.
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TRATTO FD


$N=0$
$T-(sqrt(3)-1)/(2l)=0$
$M+1-(sqrt(3)-1)/(2l)s=0$
Le caratteristiche per questo tratto sono:
$N=0$
$T=(sqrt(3)-1)/(2l)$
$M=(sqrt(3)-1)/(2l)s-1$
Il risultato è corretto come nella soluzione.
-------------------------------------------------
TRATTO AC


$N-(sqrt(3)-1)/(2l)=0$
$T=0$
$M=0$
Le caratteristiche per questo tratto sono:
$N=(sqrt(3)-1)/(2l)$
$T=0$
$M=0$
Il risultato è corretto come nella soluzione.
-------------------------------------------------
TRATTO BE
Si possono ricavare sfruttando l’antisimmetria del sistema:
$N_(BE)= -N_(AC)= -(sqrt(3)-1)/(2l)$
$T_(BE)= T_(AC)=0$
$M_(BE)= -M_(AC)=0$
Il risultato è corretto come nella soluzione.

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TRATTO DE


$N-(sqrt(3)-1)/(2l) cos(pi/3)=0$
$T-(sqrt(3)-1)/(2l) sin(pi/3)=0$
$M+(sqrt(3)-1)/(2l) sin(pi/3)(l-s)=0$
Le caratteristiche per questo tratto sono:
$N=(sqrt(3)-1)/(4l)$
$T=(sqrt(3)-1)/(2l) sqrt(3)/2$
$M=-sqrt(3)/2 (sqrt(3)-1)/(2l)(l-s)$
Il risultato NON E’ CORRETTO E NON E’ COME NELLA SOLUZIONE. IL RISULTATO CORRETTO DOVREBBE ESSERE:
$N=-(sqrt(3)-1)/(4l)$
$T=-(sqrt(3)-1)/(4l)$
$M=-(sqrt(3)-1)/(4l) (l-s)$
Io riesco a capire che il mio calcolo delle caratteristiche sul tratto DE è errato, perché valutando l’equilibrio al nodo D si vede subito che con i miei risultati quest'ultimo non è equilibrato, mentre con la soluzione esatta è in equilibrio.
Quello che non capisco è dove sbaglio e se esiste concettualmente un metodo un po’ più standard per evitare di sbagliare.

Grazie mille a chiunque mi aiuterà

[Khurt]

Guarda, innanzi tutto hai fatto un po' di casino coi riferimenti, secondo me. Se prendi come verso positivo quello indicato dalla freccia $l-s$, è subito evidente che la componente orizzontale della forza sia negativa, per cui, non essendoci alterazioni nel mentre, anche all'altro capo avrà lo stesso segno.

Poi, io non so bene che calcolo per l'equilibrio abbia fatto, però, prendendo un riferimento $(x,y)$ con x diretto come $F_F$, assoluto e scomponendo le forze,a me risulta così:

eq. a traslazione orizzontale: $F_(Fx)+F_(Ax)+F_(Bx)=0$ e osservando che $F_(Ax)=F_(Bx)$ $rArr$ $F_(Ax)=F_(Bx)=-F_(Fx)/2$
eq a traslazione verticale: $F_(Ay)+F_(By)=0$

Dalla prima ricavi immediatamente $N$, che è proprio quella che dice il libro.
Dalla seconda, ricavi solo che i moduli sono uguali. Per questo l'equilibrio a traslazione ti viene fuori: qualunque valore ci metti, dici che l'altro è uguale ed opposto per antisimmetria e lo risolvi. Il valore giusto però, è solo quello che dici tu.
Infatti, finendo l'equilibrio:

eq. momenti rispetto a D $F_(Fx)*l+M_0+F_(Ay)*l+F_(By)*l=0$
Ora, i moduli di $F_(Ay)$ e $F_(By)$ sappiamo già essere uguali, quindi ci troviamo in presenza di una coppia di forze. Se fai il disegno si vede subito che le due forze tendono a far girare l'asta nella stessa direzione, per cui risulta:

$F_(Fx)*l+M_0=-2F_(Ay)*l=-2F_(By)*l$

I primi due termini li hai già calcolati e, facendo la somma risultano $(sqrt(3)-3)/2$, per cui $F_(Ay)*l=(3-sqrt(3))/4$ che, guardacaso, è proprio $(sqrt(3)-1)/(2l) sqrt(3)/2$

[Khurt]

comunque, se posso esprimere un parere personale, insegnare questo metodo di risolver le travi lo trovo assurdo.

E' infinitamente più comodo considerare l'equilibrio della trave nella sua interezza, invece che come somma degli effetti di ogni singolo pezzo di trave. Poi per le forze distribuite che cosa fare? 120mila integrali per ogni segmento di trave?

[marcook]

Innanzi tutto grazie mille per la risposta. Io ovviamente ho eseguito a parte il calcolo dell'equilibrio globale della struttura ed il mio ragionamento è in linea con quello che hai fatto tu. Il fatto è che io cerco di calcolare le caratteristiche con i metodi che mi hanno insegnato, però spesso mi trovo in queste situazioni dalle quali non so districarmi. Ciò che mi manda veramente in crisi è il fatto che mentre studio e faccio esercizi sui libri, tutto mi torna alla perfezione, invece quando vado a fare i temi d'esame come questo mi capitano delle "incongruenze" che non so spiegarmi. Nella soluzione riportata a questo link http://www.mazzonefireworks.com/filedainviare/testo%20esame%20soluzione.pdf puoi ben vedere che le cose sono diverse da come vengono a me.
Il sistema $F_0$ ad esempio mi torna per filo e per segno come nella soluzione, invece il sistema $F_1$ no....differisce per il tratto DE. È questo che mi da problemi....

[Khurt]

aaaaaaaah, ora è tutto chiaro...

Problema. Nel sistema di Fig. 1 la trave CE è rigida, la trave DF
è flessibile ma inestensibile, mentre le travi AC e BE sono
estensibili. La trave CE è soggetta ad un carico distribuito assiale
costante di intensità q.

direi che questo non è il problema che hai proposto tu qui.

[marcook]

aaaaaaaah, ora è tutto chiaro...

Problema. Nel sistema di Fig. 1 la trave CE è rigida, la trave DF
è flessibile ma inestensibile, mentre le travi AC e BE sono
estensibili. La trave CE è soggetta ad un carico distribuito assiale
costante di intensità q.

direi che questo non è il problema che hai proposto tu qui.[/]

Ecco lo sapevo, mi manca un tassello....potresti indicarmi la retta via o magari farmi capire come si ragiona su questo esercizio? Perché non riesco proprio a capire.....grazie mille

[Khurt]

io non sono un civile quindi la mia scienza delle costruzioni è un po' più elementare, ma vedo se riesco a renderti le cose un po' più chiare.

Questo è un problema alla linea elastica quindi abbiamo scartato l'ipotesi restrittiva che tutte le travi sono indeformabili, quindi, necessariamente, bisogna prima risalire alle equazioni dei carichi, dopodiché, come ben sai (o dovresti sapere ), bisogna integrare per trovare, taglio e momento.
A questo punto, puoi dividere il momento per il modulo di young moltiplicato per l'inerzia $EI$ per trovare lo spostamento trasversale, integrare una volta per trovare l'angolo di rotazione della trave e integrare ancora una volta per trovare la linea elastica che stai cercando.

A ogni integrazione ovviamente introduci la costante che puoi trovare discutendo i vincoli. In questo caso hai solo cerniere (una con un momento applicato, che è un po' allucinante, ma vabbè). Che condizioni ti da una cerniera su scostamento trasversale e angolo di rotazione?

Comunque, prima di tutto va risolta la trave. Questa è una trave iperstatica due volte (ci sono 3 vincoli che agiscono sulle stesse direzioni, quindi non puoi dire nulla su come si comportano), ma si può toglierne una grazie all'ipotesi di anti simmetria. Come leggi al punto 1, si sceglie di tenere dei vincoli che rendono la trave isostatica, lasciando come incognite X le componenti del vincolo che abbiamo tolto. Per esempio, si potrebbe tenere il vincolo in F, con il suo momento.
In questo modo la trave è isostatica e la puoi risolvere, ricordandoti però di aggiungere una componente X che è quella dei due vincoli che hai tolto. Alla fine, da X potrai ricavare $F_A$ e $F_B$ con la condizione di antisimmetria.

[Khurt]

Attento però: non tutte le travi sono uguali!!, quindi per forza devi ragionare sui pezzetti singoli, applicando l'elasticità dove la linea è elastica e togliendola dove invece non lo è.

[marcook]

Grazie mi hai aperto gli occhi!! Per il problema della linea elastica non ho difficoltà, tantomeno per il metodo delle forze, il mio problema sta proprio nel calcolo delle cds...nel fatto che vanno ricavate attraverso integrazione e non come le faccio io! Quindi dove mi tornano lo fanno per puro caso, o meglio in quei tratti anche se ci sono deformazioni il tutto coincide come se non ci fossero.

Se puoi, posso chiederti di farmi vedere le cds della sollecitazione con il discorso integrale anche solo su questo sistema o su un pezzetto significativo di esso? Giusto per capirne bene il funzionamento...grazie 5000 per l'aiuto che mi stai dando!!!!!

[Khurt]

eh, questo è proprio il pezzo che mi manca, perché io mi sono sempre fermato a travi semplici con carichi applicati del tipo qx o qx+n, quindi non vorrei dirti cagate e poi farti confondere ancor di più. Bisogna aspettare qualcuno che ne sappia più di me.