matrice simile all'altra

[ramarro]

B=$((1,2,1),(2,b,2),(0,1,b))$
c=$((1),(2),(1))$
a)Stabilire al variare del parametro $b$ , il numero di soluzioni del sistema lineare scritto in forma matriciale Bx=c
b)Determinare tutte le eventuali soluzioni per b$=1$
c) Determinare tutte le eventuali soluzioni per b$=4$

a)$DetB=b^2-4b$
abbiamo un'unica soluzione per ogni $b!=0$;$b!=4$
CASO1
se $b=0$
B0=$((1,2,1),(2,0,2),(0,1,0))$ Qui il DetB0 è $0$ quindi guardo la sottomatrice...b0=$((1,2),(2,0))$
il Det della sottomatrice viene -4 quindi il rango è pari a $2$.
soluzioni=$\infty^(n incognite-nrango)=\infty$
CASO2
se $b=4$
B4=$((1,2,1),(2,4,2),(0,1,4))$ $DetB4=0$
allora vado a guardare un po di sottomatrici, solo che molte vengono $0$ ma arrivo a trovare la sottomatrice
$B4=((2,4),(0,1))$
il det viene $2$ quindi va bene e il rango anche lui è $2$ perché viene dalla sottomatrice quadrata.
soluzioni:$\infty^(n incognite-nrango)=\infty$

poi..determinare le soluzioni per $b=1$
B1=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$
Det$=-3$
B1|c=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ è un caso che la matrice sia uguale quindi Det$=-3$
Ora scrivo la matrice $s$ ovvero la matrice completa con le soluzioni:
S=$((1,2,1,1),(2,1,2,2),(0,1,1,1))$
$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ Det Sincompleta=$-3$
Ora trovo le soluzioni.
Chiamero tali matrici $x1,x2,x3$
x1=$((1,2,1),(2,1,2),(1,1,1))$
Ora per $x2$ sostituisco la colonna delle $x2$
x2=$((1,1,1),(2,2,2),(0,1,1))$ la cosa strana è che $x2=0$....infatti mi viene il dubbio che abbia sbagliato...
x3=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ poi determinante/determinante=$1$

c)andiamo al punto (c)
sostituisco $4$ alla variabile $b$.
osservo la sottomatrice $((2,4),(0,1))$= $2$
${((x1+2x2+x3=1),(2x1+4x2+2x3=2))$
${((x1=-2x2-((2-4x2-2x1)/(2))+1),(x3=1/2(2-4x2-2x1)))$

[axpgn]

Mi pare che il determinante sia sbagliato, mi sembra che debba essere $b^2-5b+4$ che ha come soluzioni $b=1$ e $b=4$.

[ramarro]

Ho sbagliato a ricopiare il testo dell'esercizio...ora modifico il messaggio

[ramarro]

ok modifica effettuata

[ramarro]

aspetto di sapere se ho sbagliato, se qualcuno se ne intende mi faccia sapere...va be intanto lascio il messaggio

[minomic]

Ciao,
direi di procedere in questo modo: costruisco la matrice \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&b&2&2\\0&1&b&1
\end{array}\right]\] e ragiono applicando il teorema di Rouchè-Capelli.
Il determinante della matrice incompleta è $b^2-4b = b(b-4)$.
Quindi se $b != 0, b != 4$ il rango dell'incompleta è pari a $3$, uguale a quello della completa (perché massimo). Di conseguenza c'è un'unica soluzione.

Se invece $b=0$ vado a sostituire e ottengo la matrice \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&0&2&2\\0&1&0&1
\end{array}\right]\] Il rango dell'incompleta è $2$, mentre il rango della completa è $3$ (prova a fare qualche calcolo). Concludiamo quindi che per $b=0$ il sistema non ammette soluzioni.

Se $b=4$ la matrice diventa \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&4&2&2\\0&1&4&1
\end{array}\right]\] Il rango dell'incompleta è sempre $2$, ma questa volta anche il rango della completa è $2$. Concludiamo che il sistema ammette un numero di soluzioni pari a $oo^1$, cioè dipendenti da un parametro.

[ramarro]

ok grazie!!!!!!!!!!!