Esercizio sui grafi!

[johack]

Salve a tutti, il mio professore mi propone il seguente esercizio:
Sia $G=(V,E)$ il grafo tale che per definizione $V={S\sube[10] : |S|=3}$ e ${S,T} \in E$ se e solo se $S\nnT=0$. Decidere se $G$ è Euleriano.

Adesso ragionando nel seguente modo riesco a definire solo $V$, che sarebbero i vertici del mio grafo.
Questa espressione non altro che la definizione di coefficiente binomiale $V={S\sube[10] : |S|=3}$, quindi ho che: $((n),(k))$=$((3),(10))$=$120$, ma non riesco a definire i lati del mio grafo, per favore potete darmi una mano? vi ringrazio

[Martino]

Hai provato ad usare il teorema di Eulero che dice che un grafo privo di vertici isolati è euleriano se e solo se è connesso e tutti i suoi vertici hanno grado pari? In questo modo ti riduci a chiederti se il tuo grafo è connesso e quali sono i gradi dei suoi vertici.

[johack]

ma io non riesco a stabilere gli archi che collegano i vertici, non potendo stabilire gli archi non riesco a stabilire il grado dei vertici!

[Martino]

Gli archi collegati a un vertice S sono (ovviamente) tanti quanti i vertici collegati a S, cioè i sottoinsiemi di tre elementi disgiunti da S. Quindi si tratta di contare quanti sono gli insiemi di tre elementi disgiunti da S.

[johack]

non ho la più pallida idea di come si possa fare!

[Martino]

Sia \( \displaystyle S = \{1,2,3\} \) . Quanti sono i sottoinsiemi \( \displaystyle T \) di \( \displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \) tali che \( \displaystyle |T|=3 \) e \( \displaystyle S \cap T = \emptyset \) ?

Dovendo essere disgiunti da S saranno sicuramente sottoinsiemi di \( \displaystyle \{4,5,6,7,8,9,10\} \) giusto? Quindi quanti sono?

E se poi prendo un altro S cambia qualcosa?