Suv ha scritto:- la forma differenziale esatta w = dL è anche una f primitiva della funzione potenziale?
Certo. Considera le forme differenziali un analogo linguaggio dei campi vettoriali. In pratica se ti definisci il campo vettoriale come $ \mathbf{F} = iF_1 + jF_2 + kF_3 $ avrai il lavoro elementare di F: $ dL = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz $ e la forma differenziale:
$ \omega = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz $.
Ora dire forma differenziale esatta è sinonimo di campo vettoriale conservativo che è proprio una F-primitiva del potenziale U.
Suv ha scritto:- perchè in una regione in cui il campo non è continuo non può calcolarsi il lavoro lungo una curva qualsiasi congiungente due punti contenuti in tale regione?
Partendo dal fatto che se F è un campo vettoriale irrotazionale, non è detto che sia conservativo e quindi che ammetta un potenziale U (ma invece vale sicuramente il viceversa in un aperto connesso). Infatti il dominio di F deve essere semplicemente connesso, o comunque puoi prendere un intorno sferico (una sfera o pallina) di raggio talmente piccolo da assumere che valga questo cioè che
se F è irrotazionale allora F è localmente conservativo.
Dunque se il lavoro di un campo vettoriale non dipende dal percorso e dalla forma del percorso lungo cui effettuo il calcolo ma solo dagli estremi della curva parametrizzata devono esistere gli estremi, o meglio il potenziale agli estremi, poichè il lavoro calcolato tra 2 punti sarà proprio la differenza tra il potenziale al punto $ P_1 $ e quello al punto $ P_2 $.
Suv ha scritto:- spesso, in esercizi, si chiede di calcolare la f potenziale che si annulla in un punto (x0, y0). Per risolvere tali esercizi, si compie un percorso lungo gli assi coordinati per trovare la f potenziale. Non capisco perchè.. poichè F = gradU qualora sussista la conservatività del campo, non basterebbero delle integrazioni indefinite?
A questo punto non ti so rispondere: o meglio, in parte avendo sempre fatto con le integrazioni indefinite non so se vi siano altri metodi e in parte mi è poco chiaro cosa intendi. Per me puoi sempre verificare a priori la conservatività del campo, verificando ovviamente che è irrotazionale (per il discorso che ho fatto prima sugli intorni sferici), e poi procedere con le integrazioni indefinite.
Spero di esserti stato d'aiuto
