Spazi di Banach ed esercizi

[Talos]

Sto cercando di studiare da solo alcuni argomenti di Matematica quindi abbiate pietà di me se dico cose insensate.
Ho fatto la teoria sugli Spazi di Banach e sono arrivato agli esercizi, alcuni, con grossi aiuti cercando su internet, sono riuscito a risolverli, ma con due non so nemmeno da dove cominciare:

Sia $R$ uno spazio lineare normato; dimostrare la validità delle seguenti proposizioni:

1) ogni varietà lineare a dimensione finita in $R$ è chiusa;
( cosa sono le varietà lineari? Ho cercato online ma non trovo una definizione chiara )

2) se $M$ è un sottospazio e $N$ è un sottospazio a dimensione finita in $R$, la loro somma
$$M+N=\{x: x=x+z, y\in M, z\in N\}$$
è chiusa; dare un esempio di due sottospazi lineari (chiusi) in $l_2$ la cui somma non sia chiusa.

P.s. Quando dice che devo dimostrare che due norme $||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$ sono equivalenti, ovvero che esistono due costanti $\alpha$ e $\beta$ maggiori di zero tali che $\alpha||\cdot||_1\leq ||\cdot||_2 \leq \beta ||\cdot||_1$. Intende che devo dimostrare che sono topologicamente equivalenti?

[j18eos]

Per varietà lineare, in questo caso, si intende un sottospazio vettoriale!

...
2) ... dare un esempio di due sottospazi lineari (chiusi) in $l_2$ la cui somma non sia chiusa.
...

Non ricordo mai una soluzione di questo esercizio!

[Talos]

Ciao! Ti ringrazio per la spiegazione sul primo esercizio, credo di aver visto già qualcosa di simile sul web allora. Ora ricontrollerò, spero che mi sia di aiuto.

[dissonance]

Non penso sia molto facile trovare un esempio di questo genere. Ne parlammo su questo forum, nella sezione Pensare un po' di più. Si tratta comunque di un fatto di analisi funzionale, più che di topologia generale, direi.

[Talos]

Si esatto! Sto leggendo un libro di analisi funzionale, mi sa che avrei dovuto postare in Analisi Matematica ora cercherò su Pensare un po' di più il thread che mi hai segnalato.