Matrice diagonalizzabile - esercizio

[lume89]

Salve a tutti. Ho un dubbio su questo esercizio:
Sia $ M = ((1,a,a),(-1,1,-1),(1,0,2))$ Trovare per quale valore di $a$ nei Reali la matrice è diagonalizzabile.

Ho risolto così.
Trovo il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori con le relative molteplicità algebriche.
$P(t)=(1-t)^2*(2-t)$ quindi senza l'influenza di $a$

Da cui gli autovalori sono: $lambda_1=1$ con molteplicità $m_1=2$ e $lambda_2=2$ con molteplicità $m_2=1$

Quindi per essere diagonalizzabile devo applicare il teorema che mi dice che una matrice $nxn$ è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità algebriche è uguale a n, cioè $m_1+....+m_n=n$
e che la dimensione di ogni autospazio sia uguale alla molteplicità algebrica del rispettivo autovalore, cioè $dimV_i=m_i$ per ogni $i$.

Con il primo criterio sono a posto in quanto $m_1+m_2 = 2+1 = 3 = n$
Andando però ad usare il secondo trovo che la $dimV_1=1$ quindi la matrice non è diagonalizzabile.

Il dubbio è nel fatto che la matrice è non diagonalizzabile qualunque sia il valore di $a$ nei reali, in quanto $a$ si cancella sia dal polinomio caratteristico sia nel sistema omogeneo che uso per trovare i generatori di $V_1$ e quindi la sua dimensione.

Sono io che sono paranoico o la risoluzione va bene cosi quindi la matrice è NON diagonalizzabile qualsiasi sia $a$?

[ciampax]

Dunque, con $\lambda=1$ le equazioni per determinare l'autospazio diventano
$$ay+az=0,\ -x-z=0,\ x+z=0$$
che possono essere anche ridotte a
$$a(y+z)=0,\ x+z=0$$
Pertanto necessariamente $x=-z$. Inoltre per la prima puoi distinguere due casi: se $a\ne 0$ allora $y=-z$ e quindi l'autospazio è composto dai vettori $(-z,-z,z)$ e pertanto ha dimensione 1. Ma se $a=0$, allora la prima equazione è sempre verificata e si hanno i vettori per l'autospazio $(-z,y,z)$, per cui la dimensione è 2.

Se passi al secondo autovalore le equazioni per l'autospazio sono
$$-x+ay+az=0,\ -x-y-z=0,\ x=0$$
da cui $$a(y+z)=0,\ y+z=0$$ che sono sempre verificate a patto che $y=-z$. Pertanto per qualsiasi $a$ si hanno le soluzioni $(0,-z,z)$ èla dimensione è 1.

Il valore cercato è pertanto $a=0$.

[lume89]

Giusto!! Non avevo considerato il fatto che $a$ potesse prendere come valore $0$. Semplicemente cancellavo $a$ da $ay+az=0$. Sono un ********.
Grazie mille.