Piano inclinato accelerato

[alceus]

Salve a tutti,
è da un po' che mi arrovello su un problema che non riesco ancora completamente a comprendere. Purtroppo, essendomi posto il dubbio da me, non ho modo di scoprire se le mie considerazioni sono giuste se non chiedendo a qualcuno di più esperto...ringrazio quindi già da ora chi vorrà venirmi in aiuto

La situazione è questa: un piano inclinato di massa $M$ è soggetto all'azione di una forza orizzontale $F$, parallela al suolo. Sul piano è appoggiato un blocco di massa $m$; tra il piano e il suolo l'attrito è assente, tra il piano e il blocco c'è attrito. Il mio obiettivo sarebbe, ad esempio, determinare l'accelerazione relativa del blocco rispetto al piano inclinato.

In un sistema di riferimento non inerziale solidale con il piano inclinato, mi verrebbe da dire che si può impostare l'equazione \(\displaystyle \vec{F'} + \vec{F}_{att} + \vec{N} + \vec{P} = m \vec{a}_r \) , con $\vec{F}'$ forza inerziale uguale in direzione e con verso opposto a $\vec{F}$ (modulo tale che $F/M={F'}/m$) e $\vec{a}_r$ accelerazione del blocco rispetto al piano inclinato. .

In un sistema di riferimento inerziale solidale col suolo le cose si fanno per me meno chiare: sul piano inclinato (approssimato a punto materiale) agiscono $\vec{F}$, la forza peso $\vec{P}_m$, la reazione vincolare del suolo $\vec{R}$, la reazione vincolare della massa $\vec{N}$ e una forza d'attrito \(\vec{F}_{att}\), con cui la massa $m$ cerca di ostacolare il moto del piano lungo la direzione dell'ipotenusa. Lungo la direzione perpendicolare all'ipotenusa mi verrebbe da dire che la situazione si può considerare analoga a quella di due masse a contatto poste su un piano orizzontale: il complesso blocco-piano si muove con uguale accelerazione (il blocco non si "stacca").

Direi:
\( F\sin(\alpha) - N - Mg\cos(\alpha) + R\cos(\alpha) = Ma_{\perp} \) piano inclinato
\(N - mg\cos(\alpha) = ma_{\perp} \) blocco
\((m+M)g-R=0\) questa per trovare R

Lungo la direzione dell'ipotenusa:
\(F\cos(\alpha) + Mg\sin(\alpha) - R\sin(\alpha) - F_{att}= Ma_{// piano} \) piano inclinato


Per quanto riguarda il blocco, la direzione perpendicolare l'abbiamo già vista, per quella parallela direi che per il principio di azione e reazione agisce una forza d'attrito \(\vec{F}_{att}\) con cui il piano "reagisce" al tentativo di essere ostacolato. Ma il blocco tende a scendere lungo il piano inclinato per effetto della forza peso: quindi mi verrebbe da dire che è soggetto anche a una forza d'attrito \(\vec{F}_{att2}\) diretta in verso opposto a \(\vec{P}_{//}\) e quindi a \(\vec{F}_{att}\). Ma essendo le forze d'attrito dipendenti dalla forza normale direi che \(F_{att}=F_{att2}=\mu N\) e quindi le due forze si annullano. E' corretto? In tale caso si avrebbe semplicemente \(P\sin(\alpha)=ma_{\\ blocco}\)


Prima che cerchi di calcolare l'accelerazione relativa del blocco rispetto al piano \(a_r=a_{\\ piano}-a_{\\ blocco}\), qualcuno potrebbe aiutarmi e dirmi se sto ragionando bene o se sto completamente svalvolando? In particolare il dubbio maggiore che ho è quello sui due attriti...

Grazie

[alceus]

Edit credo di aver trovato almeno un errore: l'equazione \( \displaystyle (m+M)g-R=0 \) andrebbe corretta con \( \displaystyle F_{att}\sin(\alpha)-N\cos(\alpha)-P_m+R=0 \) , ottenuta analizzando le forze in gioco sul piano di massa $M$ lungo un asse perpendicolare al suolo, considerando che il piano inclinato non si muove "in verticale".

Per semplificare la situazione ho provato a cercare il valore di $F$ per il quale il blocco non scorre lungo il piano inclinato. Il risultato che ho trovato guardando la situazione nel sistema di riferimento non inerziale è \( \displaystyle \displaystyle{F=M\frac{g\sin(\alpha)-\mu\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)+cos(\alpha)}} \) . Sto provando ad ottenere lo stesso risultato nel sistema di riferimento inerziale, ponendo \( \displaystyle a_{//piano}=a_{//blocco} \) ma arrivo ad una scrittura diversa...

[navigatore]

Hai fatto un po' di confusione….

Innanzitutto: il riferimento inerziale è quello del piano orizzontale, sul quale il cuneo si muove senza attrito, ok?
Il riferimento non inerziale, accelerato verso destra dalla forza esterna, è il cuneo ovviamente, che sul piano inclinato porta a spasso il blocchetto.
la forza esterna $vecF$, che immagino costante, deve accelerare non solo il cuneo che ha massa $M$ ma pure il blocchetto di massa $m$. Quindi l'accelerazione "di trascinamento" $veca_t$ del sistema verso destra, che deve essere parallela al piano orizzontale, ha modulo :

$ F/(M+m)$

Percio, nel riferimento non inerziale, la forza di inerzia (o apparente) di trascinamento che agisce sul blocchetto orizzontalmente verso sinistra è : $vecF_t = -mveca_t$ , e ha modulo : $ F_t = m/(M+m)*F$.

Esaminiamo il moto del blocchetto nel riferimento non inerziale , cioè nel riferimento del cuneo accelerato verso destra.

Sul blocchetto agiscono tre forze, due reali e una apparente : 1)il peso $vecP$ ; 2) la forza apparente di trascinamento $vecF_t$, diretta orizzontalmente verso sinistra; 3) la reazione del piano, che chiamo $vecR$ , che ha una componente normale al piano e una tangente.

L'equazione della dinamica, scritta (abusivamente) nel riferimento accelerato così :

$mveca_r = vecP + vecR + vecF_t$

va proiettata sulle due direzioni ortogonali, una parallela al piano inclinato e una ortogonale.
Supponiamo di escludere già a priori che si verifichi un'altro caso : quello che la forza esterna $vecF$ sia così forte da far schizzare via il blocchetto dal piano inclinato, nel qual caso il blocchetto descrive una parabola e cade al suolo.

Escluso questo caso, l'accelerazione relativa $veca_r$ è obbligata a essere tangente al piano inclinato. Invece l'accelerazione di trascinamento è orizzontale, per quanto detto e ripetuto.
L'accelerazione relativa potrebbe essere : 1) diretta verso il basso (forza esterna "debole" , intuitivamente parlando) ; 2) verso l'alto (forza esterna "forte", sempre a livello intuitivo) ; 3) nulla : il blocchetto non si muove rispetto al piano inclinato, oppure si muove di moto rettilineo uniforme: dipende dall'attrito, appunto.

Adesso fermati un attimo, dimentica che il cuneo si muove, e supponi di avere questo blocchetto fermo, soggetto al proprio peso e alla reazione del piano. La reazione del piano ha componente normale che equilibria la componente normale del peso $mgcos\alpha$. La componente tangente al piano si oppone allo scivolamento verso il basso, cioè contrasta la componente del peso parallela al piano $mgsen\alpha$, fino al valore massimo consentito dall'attrito statico. In altri termini, se risulta :

$mgsen\alpha < \mumgcos\alpha$

il blocchetto non scivola verso il basso.

Torniamo al tuo caso. Che devi fare? Devi aggiungere, al caso del cuneo fermo, la forza apparente $vecF_t$ che abbiamo detto essere orizzontale e diretta verso sinistra. A questo punto, scomponi il peso $vecP$ e la forza apparente $vecF_t$ nelle due componenti, parallele e normali al piano inclinato. LA reazione normale del piano inclinato ha modulo $mg cos\alpha + F_tsen\alpha$ , quindi la massima forza di attrito statico che il piano inclinato può esercitare è in ogni caso :

$\mu(mg cos\alpha + F_tsen\alpha)$

il blocchetto potrà scivolare verso il basso se risulta : $mgsen\alpha > F_t cos\alpha + \mu(mg cos\alpha + F_tsen\alpha)$ (come vedi, al 2° membro c'è anche la componente di $F_t$ parallela al piano. Quindi la forza agente è la differenza tra 1° e 2° membro(dove però ci andrebbe ora il coefficiente di attrito dinamico, non più quello statico). L'accelerazione relativa si ottiene dividendo per m.

Invece, se risulta : $ F_tcos\alpha > mgsen\alpha + \mu(mg cos\alpha + F_tsen\alpha)$

il blocchetto accelera verso l'alto (anche qui ora andrebbe il coeff. di attrito dinamico).
Se noti, ho cambiato verso alla forza di attrito.

Insomma, tutto dipende dal valore della accelerazione di trascinamento, cioè della forza applicata, e dal coefficiente di attrito tra blocchetto e piano inclinato.

L'accelerazione assoluta la ottieni conoscendo quella relativa e quella di trascinamento.
_____________________________________________________

Se vuoi fare le cose più facili inizialmente, considera il caso in cui anche tra blocchetto e cuneo non ci sia attrito. Mettiti nel riferimento inerziale, perché è più facile. E considera le accelerazioni, anziché le forze (basta dividere per $m$) .
Hai 4 accelerazioni, di cui conosci le direzioni : 1) la $vecg$ , di cui sai anche il valore; 2) la $vecR/m$ , di cui sai che è sempre normale al piano inclinato; 3)l'accelerazione di trascinamento $veca_t$, di cui sai valore e direzione orizzontale; 4)la accelerazione relativa $veca_r$, che deve essere parallela al piano inclinato.

L'accelerazione assoluta è data da : $veca = vec(g) + vecR/m$
Ma è anche vero che : $veca = veca_r + veca_t$

Perciò puoi costruire un quadrilatero chiuso, sfruttando quanto detto. Puoi verificare che ci sono vari casi anche qui, a seconda del valore di $veca_t$, che se è "molto grande" (intuitivamente ….) potrebbe anche causare una accelerazione relativa del blocchetto verso l'alto del piano inclinato, non verso il basso.
_________________________________________________

La presenza dell'attrito, nel caso da te prospettato, complica le cose e secondo me non rende ben definito il problema.

E ora spero di non essermi incartato io….

[alceus]

Ciao, intanto grazie mille per la risposta.

Innanzitutto: il riferimento inerziale è quello del piano orizzontale, sul quale il cuneo si muove senza attrito, ok?
Il riferimento non inerziale, accelerato verso destra dalla forza esterna, è il cuneo ovviamente, che sul piano inclinato porta a spasso il blocchetto.

Sisì, forse mi sono espresso male, ma è proprio quello che intendevo quando dicevo "sistema di riferimento non inerziale solidale con il piano inclinato" e "sistema di riferimento inerziale solidale col suolo".

la forza esterna $vecF$, che immagino costante, deve accelerare non solo il cuneo che ha massa $M$ ma pure il blocchetto di massa $m$. Quindi l'accelerazione "di trascinamento" $veca_t$ del sistema verso destra, che deve essere parallela al piano orizzontale, ha modulo :

$ F/(M+m)$

Ecco, io qui avevo cercato di scomporre $\vec{F}$ nelle due componenti \(\vec{F}_{\perp}\) e \(\vec{F}_{//}\):


Lungo la direzione perpendicolare al piano inclinato effettivamente anche io avevo considerato i due corpi come rigidamente connessi (stessa accelerazione lungo quella direzione). Lasciando per un attimo da parte la componente \(\vec{R}_{\perp}\) della reazione del suolo $\vec{R}$, mi sembra di poter paragonare la situazione a quella di due masse rigidamente connesse che giacciono su un piano orizzontale:




Applicando la forza \(\vec{F}_{\perp}\) al blocco di sinistra (che corrisponde al piano inclinato "ruotando" la figura nella situazione di partenza), si può scrivere:

\begin{equation}\begin{cases}F_{\perp}-N=Ma_{2 \perp}\\N=ma_{2 \perp}\end{cases}\end{equation}

ottenendo effettivamente \(\displaystyle{a_{2 \perp}=\frac{F_{\perp}}{m+M}}\)

Aggiungendo che i due corpi sono entrambi soggetti singolarmente a un' ulteriore accelerazione \(\vec{g}\cos(\alpha)\), che nell'analogia con le due masse sul piano orizzontale sarebbe quindi diretta verso sinistra, si ha che l'accelerazione risultante con cui si muove il sistema $m+M$ (o ciascuna massa singolarmente, se vogliamo) è in modulo \(a_{\perp}=a_{2 \perp}-g\cos{\alpha}\). Ma visto che alla fine a noi interessa soltanto \(\vec{a}_{\perp}\) (e nemmeno più di tanto, visto che i problemi sono lungo la direzione parallela al piano inclinato), nel primo post avevo scritto le prime due equazioni solo in funzione di essa.

Lungo la direzione parallela al piano inclinato la situazione mi sembra invece paragonabile a quella di due masse sovrapposte su un piano orizzontale (massa di sotto=piano inclinato; massa di sopra=blocco, anche qui ho semplicemente ruotato); vedendola così la forza \(F_{//}\) mi pare acceleri solo il piano inclinato... Per capire meglio vorrei prima immaginare che non agisca la forza peso; la situazione sul piano orizzontale è questa (trascuriamo anche qui le forze in "verticale"):


Mi pare interessante considerare l'attrito perché altrimenti la massa di sopra resterebbe ferma (accelerazione nulla) rispetto al suolo, o sbaglio? Poniamoci d'ora in poi nel sistema di riferimento inerziale solidale con il terreno:



La massa di sopra "tenta di ostacolare" nel suo moto verso destra la massa di sotto, applicando su quest'ultima una forza d'attrito \(\vec{F}_{att}\) diretta verso sinistra. Per il principio di azione e reazione, la massa di sotto applica su quella di sopra una stessa forza \(\vec{F}_{att}\) di verso opposto:



E' accettabile fino a questo punto questa intepretazione (dove però ancora non inserisco le altre forze)?

Grazie ancora


ps. giusto per chiarirmi le idee, considerando sempre due blocchi sovrapposti su un piano orizzontale (attrito nullo tra piano orizzontale e blocchi, attrito non nullo tra i due blocchi), inizialmente in quiete, supponiamo di applicare una forza \(\vec{F}_1\) diretta orizzontalmente verso destra sul blocco di sopra (massa $m_1$) e una forza \(\vec{F}_2\) diretta orizzontalmente sempre verso destra sul blocco di sotto (massa $m_2$), con,in generale, \(F_1 \ne F_2\):



A me viene da dire che la massa di sopra "ostacola" la massa di sotto con una forza di attrito \(\vec{F}_{att2}\) (e per azione-reazione subisce una forza opposta) e viceversa la massa di sotto "ostacola" quella di sopra con una forza di attrito \(\vec{F}_{att1}\) (e anche qui, azione-reazione): le coppie di forze di attrito sarebbero quindi 2. Ma essendo una generica forza di attrito \(F_{att}=\mu N\) ed essendo $N$ uguale per le due forze, non è \(F_{att1}=F_{att2}\)? Quindi è come se non ci fosse attrito? Oppure bisogna considerare prima le due accelerazioni, vedere quale delle due masse è eventualmente in moto relativo rispetto all'altra e quindi, solo dopo, applicare di conseguenza una forza di attrito in verso opposto allo spostamento?

[navigatore]

Ti vorrei pregare di non mischiare un altro problema a quello originale, altrimenti non ci si capisce più niente. Percio, limtiamoci al cuneo e al blocchetto. Per i due corpi sovrapposti, apri magari un altro thread.

Ora non ho tempo, ma stasera metterò un disegno, relativo al caso semplice che ti ho detto in fondo, e cioè : attrito nullo tra blocchetto e cuneo mobile. Si vedono delle cose interessanti.

Intanto, vorrei chiarire il senso di questa mia frase, che appare oscura :

La presenza dell'attrito, nel caso da te prospettato, complica le cose e secondo me non rende ben definito il problema

Voglio dire : mettiamoci nel riferimento mobile, e assimiliamo il blocchetto a un punto. Se c'e attrito e il coefficiente di attrito statico vale $\mu$ , posso disegnare il "cono di attrito" con origine nel punto che rappresenta il blocchetto.
Nel riferimento mobile, fin quando la risultante tra forza di trascinamento orizzontale $vecF_t$ e il peso $vecP$ del blocchetto rimane all' interno del cono di attrito, è possibile trovare una reazione $vecR$ del piano sul blocchetto, che assicura l'equilibrio (nel rif. mobile, ovvio! ) : $vecR + vecP + vecF_t = 0$

Questo vuol dire che l'accelerazione relativa è zero, e l'accelerazione assoluta è uguale a quella di trascinamento.

Per quanto concerne i tuoi dubbi, non ha senso scomporre la forza. Renditi conto che la forza $vecF$ esterna è orizzontale, e dunque imprime accelerazione orizzontale (di trascinamento") sia al cuneo che al blocchetto.

A stasera per il disegno.

[alceus]

Ti vorrei pregare di non mischiare un altro problema a quello originale, altrimenti non ci si capisce più niente. Percio, limtiamoci al cuneo e al blocchetto. Per i due corpi sovrapposti, apri magari un altro thread.

Ok, seguo il tuo suggerimento e apro un altro thread, mi sono permesso solo perché ritenevo che i due problemi fossero strettamente connessi...

Per quanto concerne i tuoi dubbi, non ha senso scomporre la forza. Renditi conto che la forza $vecF$ esterna è orizzontale, e dunque imprime accelerazione orizzontale (di trascinamento") sia al cuneo che al blocchetto.

Non voglio assolutamente sembrare insolente e testardo, ma purtroppo qualche dubbio resta... Credo però che sia dovuto al fatto che l'approssimazione di cuneo e blocco a punti materiali sia un po' forte: se i due centri di massa possono non essere sulla stessa linea orizzontale, in realtà il blocco è totalmente "contenuto" nella fascia orizzontale in cui si trova il cuneo... (spero di essermi fatto capire e di non aver svalvolato)

A stasera per il disegno.

Ok, grazie mille.

[navigatore]

……….

Per quanto concerne i tuoi dubbi, non ha senso scomporre la forza. Renditi conto che la forza $ vecF $ esterna è orizzontale, e dunque imprime accelerazione orizzontale (di trascinamento") sia al cuneo che al blocchetto.

Non voglio assolutamente sembrare insolente e testardo, ma purtroppo qualche dubbio resta... Credo però che sia dovuto al fatto che l'approssimazione di cuneo e blocco a punti materiali sia un po' forte: se i due centri di massa possono non essere sulla stessa linea orizzontale, in realtà il blocco è totalmente "contenuto" nella fascia orizzontale in cui si trova il cuneo... (spero di essermi fatto capire e di non aver svalvolato)

A stasera per il disegno.

Ok, grazie mille.

Hai ben chiaro il concetto di "accelerazione di trascinamento" ? Dato un punto materiale P in moto in un riferimento K' , a sua volta mobile rispetto a un riferimento K che consideriamo fisso, l'accelerazione di trascinamento di P in un dato istante è quella che P avrebbe rispetto a K se lo considerassi rigidamente collegato a K' , con velocità e accelerazione entrambe nulla rispetto a K' .
In altri termini, è l'accelerazione che compete al punto del riferimento mobile K', considerato come corpo rigido che si muove rispetto a K, nell'istante in cui il punto materiale P ci passa.
Nel tuo caso, tutti i punti del blocchetto subiscono l'accelerazione di trascinamento, che è uguale per tutti i punti del riferimento mobile essendo il moto del cuneo traslatorio accelerato verso destra. E tieni presente che il riferimento mobile non finisce laddove finisce il cuneo !
Poi, il blocchetto può muoversi oppure no rispetto al riferimento mobile, ma questi movimenti costituiscono il moto relativo, non il moto di trascinamento.
Perciò, nel tuo caso l'accelerazione di trascinamento è parallela al piano orizzontale. Invece il moto relativo può avvenire con accelerazione parallela al piano inclinato , come già detto.

Per quanto riguarda il caso di assenza di attrito tra cuneo e blocchetto, nel disegno allegato ho riportato 4 esempi , dove ho messo il quadrilatero delle accelerazioni : quella assoluta è segnata in rosso.
Guarda in particolare il caso 2, in cui $a_r = 0 $ : il blocchetto è fermo rispetto al cuneo, cioè trasla con esso senza cadere.
E guarda pure il caso 4, in cui ho invertito verso Sn la forza, sicché anche $veca_t$ è diretta a Sn. L'accelerazione assoluta è diretta quasi verso il basso. C'è appunto questa condizione limite, quando l'accelerazione di trascinamento verso Sn è tanto grande che la reazione tra blocchetto e piano è nulla : il blocchetto cade verticalmente con accelerazione assoluta uguale a $vecg$.

Infine, nel riquadro in basso a destra, ho accennato a quello che ti ho detto la volta scorsa, per il caso di attrito non nullo tra cuneo e blocco (assimilato a un punto materiale) : fin quando la risultante di $vecP$ e $vecF_t$ è contenuta dentro il cono di attrito, avente semiapertura uguale a $arctg\mu_s$ , la componente della reazione del piano inclinato tangente al piano è determinata dal moto. Quando la forza di attrito statico è arrivata al suo valore massimo, determinata appunto dal valore di $\mu_s$, il coefficiente di attrito diventa quello dinamico.
Bisognerebbe studiare alcuni casi particolari.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[alceus]

Sei stato chiarissimo! Grazie mille per la disponibilità