Suv ha scritto:
- perchè la derivabilità in un punto ad una superficie (f di due variabili) NON implica la continuità della stessa nel punto considerato?
basta invocare la definizione di funzione derivabile in più variabili:
una funzione $f:\RR^n\to\RR$ si dice derivabile in un punto del suo dominio se in quel punto esistono tutte le derivate parziali;
considerando allora la funzione
\[f(x;y):=\begin{cases}\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2},&\mbox{se}\,\,\,(x,y)\ne(0,0)\\
0,&\mbox{se}\,\,\,(x,y)=(0,0)\end{cases}\]
è evidente che risulta identicamente nulla lungo gli assi coordinati, perciò calcolando le derivate parziali della funzione nell'origine, si vede subito che esistono e che sono nulle ((la derivata di $0$ è zero!)); tuttavia la funzione non è continua nell'origine: infatti se lo fosse dovrebbe essere
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=0,
\end{align}
ma evidentemente si ha
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}=\not \exists;
\end{align}
quindi le derivate parziali esistono nel punto $0$ ma la funzine in $0$ non è continua.
Suv ha scritto:
- nei teoremi spesso si assume per ipotesi che il dominio di f sia un insieme APERTO contenuto o coincidente con R^2. Come mai si sceglie un insieme aperto? Tempo fa lessi che tale condizione era posta per ipotesi poichè , in caso di incremento dato alla f, questo doveva essere contenuto nell'insieme di def.... tuttavia non capisco come ciò possa verificarsi se l'insieme è aperto.
Anche qui basta invocare la definizione di insieme aperto:
un insieme $A$ si dice aperto se ogni suo punto è interno, dove un punto $x_0$ si dice interno ad un insieme $A$ se esiste un intorno di $x_0$ tutto contenuto in $A;$ il fatto di optare per insiemi aperti nelle definizioni e nei teoremi sta proprio nel fatto che in questo modo non abbiamo problemi con i punti che eventualmete si possono incontrare sulla frontiera di un insieme $A$ (un punto di frontiera può appartenere o non appartenere all'insieme $A$) nei quali come hai osservato tu, ci potrebbero essere problemi di differenziabilità per la funzione.
Suv ha scritto:
-come mai la differenziabilità implica l'esistenza delle derivate direzionali? la differenziabilità implica l'esistenza delle derivate parziali lungo gli assi coordinati.. implica, dunque, anche l'esistenza delle derivate direzionali qualsiasi? Perchè?
questo è il risultato di un teorema che dovresti conoscere, detta anche
Formula del gradienteSuv ha scritto:
-l'esistenza delle derivate direzionali implica la continuità e la derivabilità nel punto considerato?
si ... vedi teorema sopra.
