serie numeriche con funzioni

[alessandrof10]

ciao ragazzi ho una serie che non riesco a risolvere potete darmi qualche consiglio ?

$\sum_{k=1}^infty ((cos(1/k)-1)(log(k^2/(k+1)))$

allora per prima cosa ho provato la condizione necessaria la quale il limite tende a zero successivamente per studiarne il carattere ho voluto scegliere il confronto asintotico quindi la parte goniometrica è $~-1/2k^2$ poi sfruttando la proprieta dei log lo riscritta come una differenza e applicando un altra uguaglianza asintotica cioè $log(k+1)~k$ quindi riscrivendo tutto sara'

$\sum_{k=1}^infty -1/(2k^2)[log(k^2)-k]$

da qui in poi non saprei come procedere cioè moltiplicando $-1/(2k^2)$ per $k$ dopo mi esce una serie armonica che diverge mentre la serie iniziale deve convergere

[stormy]

guarda che ti confondi
$ln(1+k) ~k $ per $k rarr0$
prova a dimostrare,ad esempio,che per $k rarr+infty$ il termine generale della serie è un infinitesimo di ordine minore dell'ordine dell'infinitesimo $1/k^(3/2)$

[alessandrof10]

si è vero mi sono confuso quindi rimane il logaritmo. perche dovrei dimostrare che il termine generale della serie è un infinitesimo di ordine minore di $1/(k^(3/2))$???

[stormy]

perchè così dimostri che la serie che ha come termine generale il valore assoluto del termine generale della serie data è maggiorata dalla serie convergente di termine generale $1/k^(3/2)$

[alessandrof10]

ma perche devo partire da questa cosa ?? cioè da dove l hai tirato fuori questo $1/(k^(3/2))$ non si puo' fare con il confronto asintotico ??

[stormy]

non si puo' fare con il confronto asintotico ??

in teoria sì,ma secondo me non è facilissimo dire a cosa è asintotico il termine della serie
ho scelto $3/2$ ma per il mio scopo potevo scegliere un qualsiasi numero maggiore di 1 che mi desse una serie maggiorante

[alessandrof10]

quindi scegliendo la serie armonica generalizzata che converge per (alfa>1) devo solo dimostrare che questa serie notevole e maggiore della mia seria se questo è vero per il criterio del confronto converge anche la mia serie giusto ?? se quello che sto dicendo è vero come faccio a dimostrarlo ??

[stormy]

per essere precisi,devi dimostrare che è maggiorante della serie che ha come termine generale il valore assoluto del termine generale della serie data
questo perchè la tua serie è a valori negativi

[alessandrof10]

$1/(2k^2)[log(k^2)-log(k+1)]<1/(k^(2))$ quindi moltiplicando ambo i membri per $k^2$ e aggiustando il tutto esce

$ log(k)-(log(k+1))/2<1$

giusto ?? oppure non ho capito nulla ??

[alessandrof10]

ci seii???