Teorema di Caratterizzazione delle Basi

[Ma.Gi.Ca. D]

Il teorema in questione dice che dato V- K spazio vettoriale, e sia $ S = {e_1, e_2,..., e_n} $ un sistema di vettori di V, S è una base di V $<=>$ è valida una delle seguenti affermazioni:

1) $S$ è un sistema di vettori LINEARMENTE INDIPENDENTE MASSIMALE
2) $S$ è un sistema di generatori MINIMALE
3) $EE! (\alpha_1 , \alpha_2, ... , \alpha_n)$ t.c. $v in V$ è esprimibile come $v = \alpha_1 e_1,...,\alpha_n e_n$

il mio dubbio consiste nella dimostrazione del primo punto, quando cerco di dimostrare che dato un sistema di vettori Linearmente indipendente massimale, questo è anche un sistema di generatori. In particolare la mia dimostrazione dice che vogliamo dimostrare che dato $v$ questo dipende linearmente dal sistema S e quindi può essere scritto come combinazione lineare degli $n$ vettori. Dice quindi che se $v in S$ il sistema S sarà ovviamente dipendente. Ma se noi facciamo l'ipotesi che S è linearmente indipendente, come può essere che risulti linearmente dipendente? non è un errore concettuale?...

[Ma.Gi.Ca. D]

IN particolare il testo dice:

Supponiamo valga la (a). Poiché B è un sistema indipendente, per verificare che è una base è sufficiente provare che è un sistema di generatori. Sia $v in V$. Dimostriamo che v dipende da B. Ovviamente se $v in B$ $v$ dipende da $B$. Se $v notin B$ allora $B' sub B uu {v} = U$. Allora il sistema U è linearmente dipendente.

[Ma.Gi.Ca. D]

proprio nessuno?

[garnak.olegovitc]

@Ma.Gi.Ca. D,
che definizione usi di sistema massimale e sistema minimale?

[Ma.Gi.Ca. D]

Un sistema $S$ è Indipendente Massimale se:

1) $S$ è linearmente indipendente
2) qualunque insieme $S' : S sub S'$ è un sistema di vettori dipendente

Un sistema $S$ è detto di generatori minimale se

1) $L(S) = V$
2) $AA X sub S => L(X) sub V$

[garnak.olegovitc]

@Ma.Gi.Ca. D,
dimosto intanto la seguente (è molto semplice):

Prop.: siano dati \( (e_1,e_2,...,e_n) \in V^n\), ove \(V\) è spazio vettoriale su \(K\), allora $$(e_1,e_2,...,e_n) \text{ è base per }V \Leftrightarrow \forall w \in V(\exists! (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n(w=\sum_{i=1}^n(a_i\cdot e_i)))$$Proof:
--- dimostriamo il primo verso \( \Rightarrow\), e lo facciamo per assurdo (mi risparmio di scrivere la forma logica equivalente alla quantificazione negata); così facendo si suppone che esiste almeno un vettore \( w \) tale che esistono

\( (a_1,a_2,...,a_n),(b_1,b_2,...,b_n) \in K^n\) con \( (a_1,a_2,..,a_n) \neq (b_1,b_2,...,b_n)\) e \(w=\displaystyle\sum_{i=1}^n(a_i\cdot e_i)=\displaystyle \sum_{i=1}^n(b_i\cdot e_i)\)

per ipotesi \( V \) è spazio vettoriale ergo esiste il vettore nullo \( 0_V=w-w\) ovvero $$0_V=w-w=\sum_{i=1}^n(a_i\cdot e_i)-\sum_{i=1}^n(b_i\cdot e_i)=\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)\cdot e_i$$ sempre per ipotesi \((e_1,e_2,...,e_n)\) è base per \(V\) ergo è anche libero su \(K\), e \(a_i-b_i \in K, \forall i \in \{1,2,...,n\}\), allora $$0=\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)\cdot e_i \Rightarrow \forall i \in \{1,2,...,n\}(a_i-b_i=0_K)$$ e questo è un assurdo poichè è in contraddizione con il fatto che \( (a_1,a_2,..,a_n) \neq (b_1,b_2,...,b_n)\)

--- dimostriamo il secondo verso \( \Leftarrow\), banalmente per ipotesi \( \mathscr{L}((e_1,e_2,...,e_n))=V\), dobbiamo fare vedere che \( (e_1,e_2,...,e_n)\) è libero su \(K\) ovvero $$\forall (c_1,c_2,...,c_n) \in K^n(\sum_{i=1}^n(c_i\cdot e_i)=0_V \Rightarrow (c_1,c_2,...,c_n)=(\underbrace {0_K,0_K,...,0_K}_{n \text{ componenti}}))$$ consideriamo la combinazione \(\displaystyle \sum_{i=1}^n(c_i\cdot e_i)=0_V \) facilmente si dimostra che \(\displaystyle \sum_{i=1}^n(0_K\cdot e_i)=0_V \), per ipotesi¹ se esiste un'altra \(n-\)upla \((d_1,d_2,...,d_n) \) di \(K^n\) tale che \( \displaystyle \sum_{i=1}^n(d_i\cdot e_i)=0_V\) allora questa deve essere uguale a \((c_1,c_2,...,c_n)\), con quanto detto prima questa nuova \(n-\)upla è proprio \((d_1,d_2,...,d_n)=(\underbrace {0_K,0_K,...,0_K}_{n \text{ componenti}})\) ergo \( (c_1,c_2,...,c_n)=(d_1,d_2,...,d_n)=(\underbrace {0_K,0_K,...,0_K}_{n \text{ componenti}})\)..


Per le altre devo capire un attimo meglio queste definizioni.. (che testo usi?)

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Note

1. sperando hai idea di come agisce o cosa sostituisce la quantificazione con il quantificatore esistenziale ↑

[Ma.Gi.Ca. D]

Lomonaco, Un'introduzione all'algebra lineare.