Dubbio su una serie

[Sylent]

Salve ragazzi, ho questa serie da determinare il carattere:

$sum_(n = 2)^(+oo) arctan n/(nlog^2n) $

Ho intanto applicato il criterio di Cauchy e il limite -> 0, quindi potrebbe convergere...

Ma posso minorare la serie con 1/n e così concludere che diverge?

[Noisemaker]

in realtà no; però puoi maggiorare cosi
\[ \frac{\arctan n}{n\ln^2n}\le \frac{\pi/2}{n\ln^2n}.\]

[stormy]

@sylent
conosci il criterio del confronto di una serie con un integrale improprio ?
in questo caso è molto utile

[Noisemaker]

Oppure, senza scomodare l'integrale, utilizzando la serie armonica generalizzata:
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}, \,\,\,\,\alpha,\beta \in \mathbb{R}; $$
si dimostra, applicando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy
\begin{align*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}\stackrel{Cauchy}{\Longrightarrow}\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^{n\alpha}\ln^{\beta}2^n}&=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n\alpha-n}\left(n\ln2 \right)^{ \beta }}=\frac{1}{\ln^{ \beta }2 }\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n(\alpha-1)} n^{ \beta } }\\
&=\begin{cases} \mbox{per}\,\,\alpha>1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{converge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta>1, & \mbox{converge }\\
\mbox{per}\,\,\alpha<1\,\,\mbox{e}\,\,\forall\,\, \beta, & \mbox{diverge }\\
\mbox{per }\,\,\alpha=1\,\,\mbox{e per }\,\, \beta\le1, & \mbox{diverge }
\end{cases}.
\end{align*}

[stormy]

Oppure, senza scomodare l'integrale

l'integrale mi ha detto che per lui non c'è problema perchè tanto è di strada

[Noisemaker]

...l'integrale è davvero instancabile!!