Limite

[CaMpIoN]

Quanto fa questo limite?
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right)^{\pi} \)

Più generalmente, dato il limite
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}\)
Il seguente passaggio
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}=\left[\lim_{x \to x_0} f(x)\right]^{\alpha}\)
Può effettuarsi solo se sono soddisfatte determinate condizioni per $f$?
Il passaggio si può fare certamente se $f(x)$ è continua, mi chiedevo se esistono altri casi.

[Brancaleone]

Quanto fa questo limite?
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right)^{\pi} \)

Non esiste

[CaMpIoN]

Da cosa lo deduci?
Comunque nel caso generale come si procede?

[Brancaleone]

Dal fatto che i limiti destro e sinistro in $x_0=0$ sono diversi:

$lim_(x->0^-)x^-pi=-oo$

$lim_(x->0^+)x^-pi=+oo$

[Gi8]

Ma il dominio di quella funzione è $(0,+oo)$. Non ha senso fare il limite per $x -> 0^-$

In questo caso si ha $lim_{x->0} f(x)= lim_{x->0^+ }f(x)$

[Noisemaker]

quel limite, o lo scrivi cosi
\[\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^{\pi},\]
oppure cosi
\[\lim_{x\to0 }\left(\frac{1}{|x|}\right)^{\pi},\]
per ovvie ragioni relative ai numeri reali elevati a potenza reale ....

[Brancaleone]

Ma il dominio di quella funzione è $(0,+oo)$. Non ha senso fare il limite per $x -> 0^-$

Mi sono perso... perché il dominio non è $RR \\ {0}$ ?

[Noisemaker]

non puoi elevare a potenza reale un numero negativo.

[Gi8]

Già. Ad esempio, quanto fa $-1^pi$?



edit (ore 19.04): come ha fatto notare @melia (che ringrazio), mancano le parentesi. Intendevo:
quanto fa $(-1)^pi$? non si può fare

[@melia]

Già. Ad esempio, quanto fa $-1^pi$?

Bhè, $-1^pi= -1$, mentre è $(-1)^pi$ che non si può fare.