Dubbi su integrale triplo

[Yumina92]

All'esame ho trovato questi due esercizi ma non mi tornano i risultati, nonostante sia sicura del procedimento. Qualcuno mi può dire se sbaglio qualcosa? Posto esercizi e relativo svolgimento

1) Dato il triangolo T di vertici $ (a,0) (0,a) (-a,0) $ calcolare $ g(a) = int int_(T)( |x| + |y| )dx dy $
Scegliere quale è giusta.
$ g(sqrt(2) ) = 2sqrt(3) $
$ g(1/4 ) = -1/4 $
$ g(2) = 32 $
$ g(1) = pi/2 $

Io ho fatto così. Dato che la y varia fra 0 e a (a è sempre positivo quindi posso togliere il valore assoluto, mentre la x fra -y e y scrivo
$ int_(0)^(a)(int_(-y)^(y) (|x| + y) dx ) dy = 2 int_(0)^(a)(int_(0)^(y) (x + y) dx ) dy = 2int_(0)^(a) 3y^2 dy = a^3 $

Ma come vedete non torna con nessuno dei risultati ...


2) Dire a quale integrale $ int int int (y^3 - x^3) dx dy dz $ è uguale. Abbiamo la piramide di vertici $ (0,0,0) (1,-1,0) (1,1,0) (0,0,-a) (1,1,-a) (1,-1,-a)$ e il triangolo di vertici $(0,0) (1,1) (1,-1)$
$ 0 $
$ 2int int x^3 dx dy $ (non sono sicura se questo o quello sotto avesse un meno davanti oppure no :/ )
$ 2int int y^3 dx dy $
$ -int int x^3 dx dy $

Io ho provato a integrarla per fili rispetto a z e ottengo $ int int ( int_(-a)^(0) (y^3 - x^3) dz)dx dy = int int (zy^3 - zx^3 )dx dy =
int int ( (+ay^3 - ax^3)dx dy $
ma non vedo a cosa potrebbe essere uguale!

[Brancaleone]

Ciao Yumina92

1) Dato il triangolo T di vertici $ (a,0) (0,a) (-a,0) $ ...

Dato che la y varia fra 0 e a [...] mentre la x fra -y e y...

No, quello non è il triangolo che ti è stato dato (guarda qui come l'hai impostato, ipotizzando $a=1$), che è invece questo.
Gli estremi sono perciò

${ ( 0<=y<=a ),( y-a <=x<=-y+a ):}$

[Yumina92]

Oddio è vero!! -.-" come al solito errori stupidi... ho fatto l'esercizio pensando a un altro che era simile e non ho fatto caso...

Riguardo all'altro ?