Trovare matrice associata ad applicazione lineare

[biowep]

Salve, ho trovato un esercizio di cui non riesco a capire la soluzione.
Ho l'applicazione lineare \(\displaystyle f:R^3\rightarrow R^3 \) che è definita in modo un pò criptico:

• \(\displaystyle [1,1,0]^t \) è autovettore per f relativo all'autovalore \(\displaystyle -1 \)
• \(\displaystyle [1,0,1]^t \) appartiene al nucleo di \(\displaystyle f \)
• \(\displaystyle f([0,1,1]^t)=[2,1,1]^t \)

Il quesito è (cito testualmente): scrivere la matrice \(\displaystyle M_B^B(f) \) rispetto alla base \(\displaystyle B=\{[1,1,0]^t,[1,0,1]^t,[0,1,1]^t\} \)

Ho interpretato \(\displaystyle [x,y,z]^t \) come \(\displaystyle \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \)

e \(\displaystyle \{[a,b,c]^t,[d,e,f]^t,[g,h,i]^t\} \) come \(\displaystyle \begin{bmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{bmatrix} \)
ma comunque non riesco a risolverlo

[garnak.olegovitc]

@biowep, tu hai la base \(B=\{[1,1,0]^t,[1,0,1]^t,[0,1,1]^t\} \) ti calcoli le coordinate dei singoli vettori \(f([1,1,0]^t),f([1,0,1]^t),f([0,1,1]^t)\) rispetto alla base \(B\) e li metti in colonna... le ipotesi che hai ti permettono di fare tutto (non trovo nulla di criptico.. )

[biowep]

Diciamo che
\(\displaystyle f(1,1,0)=\begin{bmatrix}-1\\-1\\0\end{bmatrix},\quad f(1,0,1)=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix},\quad f(0,1,1)=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix} \)
metterli in colonna intendi questo per caso?
\(\displaystyle \begin{bmatrix}-1&0&2\\-1&0&1\\0&0&1\end{bmatrix} \)

Comunque il risultato deve essere:
\(\displaystyle M_B^B(f)=\begin{bmatrix}-1&0&1\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix} \)

[garnak.olegovitc]

@biowep, leggi bene quanto ho scritto prima:

ti calcoli le coordinate dei singoli vettori \( f([1,1,0]^t),f([1,0,1]^t),f([0,1,1]^t) \) rispetto alla base \( B \) e li metti in colonna...

[biowep]

Ho capito, devo calcolare tre soluzioni del tipo
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=f(v_i) \)
(Da notare che \(\displaystyle v_i \) sono i vettori della base (colonne della matrice) e che conosco le loro immagini)
Base per colonna vettore delle incognite uguale a risultato della funzione lineare. Ottengo tre vettori \(\displaystyle \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \) che affianco in una nuova matrice.
\(\displaystyle f(v_i) \) sono le tre che ho scritto nel post precedente.
Grazie per l'instradamento

[garnak.olegovitc]

di nulla, l'importante che hai capito!