Studio funzione a due variabili

[Yakovlev]

salve a tutti ho un problema nella ricerca di massimi e minimi della funzione
$ F(x;y)=-log(x*y)-(y^3)/2 +(x^2)/2 $
nell'insieme:
$ x^2 + y^2 <= 4 $

Qualcuno può darmi una mano?

[gio73]

ciao
tu cosa hai provato a fare?

[Yakovlev]

ciao
tu cosa hai provato a fare?

ovviamente prima ho cercato massimo e minimo relativo col metodo classico (derivate parziali prime , seconde hessiana eccc....) ma non viene fuori niente.
al che ho provato a cercare sul bordo del cerchio imponendo $x^2 = 4-y^2 $
e mi viene fuori $ x=+- sqrt 2 $ e $ y=+- sqrt 2 $ da qui ottengo $ F(x;y)= -log(2)- sqrt(2) +1$ che dovrebbe essere minimo assoluto nei punti $ x=+- sqrt 2 $e$ y=+ sqrt 2$ e $ F(x;y)= -log(2) +sqrt(2) +1$ che dovrebbe essere massimo assoluto nei punti $ x=+- sqrt 2 $ e $ y=- sqrt 2$
Ma non ne sono per niente sicuro

[Noisemaker]

Cerchiamo, se esistono, il massimo e il minimo della della funzione $f$ definita da
\[f(x,y):=\frac{x^2}{2}-\frac{y^3}{3}-\ln(xy),\]
sull'insieme
\[E:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 4\}.\]
Anzitutto osserviamo che la funzione $f$ è definita nell'insieme
\[\Omega:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: xy>0\},\]
pertanto si tratterà di cercare massimi e mimini dellla funzione $f$ sull'insime
\[E_1:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\le 4,\,\,xy>0\};\]
la funione $f$ è di classe $C^{\infty}(E_1)$ e l'insieme $E_1$ non è chiuso, pertanto non si può applicare Weierstrass al fine di garantire l'esistenza del massimo e del minimo di $f$ su $E_1.$ Si può tuttavia osservare che essendo
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{2}-\frac{y^3}{3}-\ln(xy)=+\infty\\
\lim_{(x,y)\to(0,a)}\frac{x^2}{2}-\frac{y^3}{3}-\ln(xy)=+\infty\\
\lim_{(x,y)\to(a,0)}\frac{x^2}{2}-\frac{y^3}{3}-\ln(xy)=+\infty
\end{align}
il massimo assoluto sicuramente non esiste, non essendo limitata la funzione. Consideramo allora i punti inerni al dominio $E_1$ dove il gradiente di $f$ si annulla: si ha
\begin{align}
\nabla f=\left(x-\frac{1}{x};-\frac{3y^2}{2} -\frac{1}{y}\right)=0\quad&\Leftrightarrow\quad\begin{cases}\displaystyle x-\frac{1}{x}=0\\
\displaystyle \frac{3y^2}{2} +\frac{1}{y}=0\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\quad\begin{cases}\displaystyle x^2-1=0\\
\displaystyle 3y^3+2=0\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\quad\begin{cases}\displaystyle x=\pm1\\
\displaystyle y=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\end{cases}\quad A\left(-1,-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right),B\left( 1,-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right) ;
\end{align}
evidentemente il punto $B$ non è interno al dominio $E_1,$ quindi l'unico punto in cui il gradiente di $f$ si annulla in $E_1$ è $A.$ Per stabilirne la natura, calcoliamo la matrice hessiana:
\begin{align}
H(x,y)=\left(\begin{matrix}1+\frac{1}{x^2}&0\\
0&-y +\frac{1}{y^2}\end{matrix} \right)&\quad\Rightarrow H(A)=\left(\begin{matrix}2&0\\
0&3\sqrt[3]{\frac{2}{3}} +\frac{1}{\left (-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right)^2}\end{matrix} \right)\\
&\quad\Rightarrow \det H(A)>0,\,\,a_{11}>0\\
&\quad\Rightarrow \mbox{$A$ è minimo relativo.}
\end{align}
Ora prova il bordo

[Yakovlev]

Cerchiamo, se esistono, il massimo e il minimo della della funzione ......
......Ora prova il bordo

Puoi controllare se quello che ho scritto sopra sul bordo va bene ? (aggiungendo che gli unici due punti accettabili sarebbero
$ (sqrt2 ; sqrt2) $ e $(-sqrt(2) ; - sqrt2) $ )