Estremo superiore ed inferiore

[Meetmat]

L'esercizio è il seguente:

Sia $ E={(xy)/(x^2+y^2):x<y " " (x,y)in RR^2} $ . Trovare $ "sup" E $ e $ "inf"E $. (Usare la disuguaglianza $ xy<=(x^2+y^2)/2 $.

Non riesco a capire come fa ad arrivare a quella diseguaglianza. Qualcuno può spiegarmelo ? Grazie.

[Shocker]

Ciao

È la disuguaglianza $GM<= AM$(media geometrica $<=$ media aritmetica)

Siano $x, y in RR^+$, vogliamo dimostrare che $sqrt(x y) <= (x+y)/2$.

Partendo dalla disuguaglianza si ha $sqrt(xy) <= (x+y)/2$, eleviamo al quadrato ambo i membri: $sqrt(x^2y^2) <= (x+y)^2/4$.
Ora, $sqrt(x^2y^2) =|xy| = xy$ perché $x,y in RR^+$,
Quindi: $4xy <= x^2 +2xy + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0$ che è sempre verificata per ogni $x,y in RR^+$.

La disuguaglianza può essere estesa a $n$ termini, cioè: $root(n)(x_1*...*x_n) <= (x_1 +...+x_n)/n$.
Tutto chiaro?

Edit: rileggendo meglio la traccia, noto che non specifica che $x,y$ siano reali positivi quindi non è detto che la disuguaglianza derivi dalla GM-AM.
Ad ogni modo la si può dimostrare con lo stesso procedimento:
$xy <= (x^2 +y^2)/2 => 2xy <= x^2 + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0$ Che è vera $forall x,y in RR$
Ciao

[Meetmat]

Benissimo non la sapevo. Grazie mille!!

[Meetmat]

Solo una cosa: per trovare l'estremo inferiore quale ragionamento va seguito ? In questo caso non sapendo se x ed y sono positivi o meno non posso eliminare il valore assoluto vero ? Grazie ancora.

[Shocker]

Solo una cosa: per trovare l'estremo inferiore quale ragionamento va seguito ? In questo caso non sapendo se x ed y sono positivi o meno non posso eliminare il valore assoluto vero ? Grazie ancora.

Aspetta, ho fatto un edit poco dopo averti risposto:

Edit: rileggendo meglio la traccia, noto che non specifica che $ x,y $ siano reali positivi quindi non è detto che la tua disuguaglianza derivi dalla GM-AM.
Ad ogni modo la si può dimostrare con lo stesso procedimento:
$ xy <= (x^2 +y^2)/2 => 2xy <= x^2 + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0 $ Che è vera $ forall x,y in RR $
Ciao

La disuguaglianza GM-AM vale solo per numeri reali positivi. La traccia dice $(x,y) in RR^2$ quindi non ha senso considerare la tua disuguaglianza come GM-AM.

[Meetmat]

Sisi ok. E' solo che non capisco come ricavare l'estremo inferiore che dovrebbe essere -1/2.

[Shocker]

Sisi ok. E' solo che non capisco come ricavare l'estremo inferiore che dovrebbe essere -1/2.

Premetto che non ho mai affrontato esercizi del genere(cioè con insiemi definiti da funzioni a due variabili).
La butto lì: per $x,y$ dello stesso segno si ha $(xy)/(x^2 +y^2) <= 1/2$, quindi non rimane che valutare il caso $x,y$ con segni discordi: $(-xy)/(x^2 + y^2) <= 1/2 => (xy)/(x^2 + y^2) >= -1/2$. Per quanto riguarda le coppie $(0,y); (x,0)$, in entrambi i casi si ottiene $0$.
Tu perché hai tirato in ballo il valore assoluto?

Comunque meglio aspettare utenti più esperti.


Ciao

[Meetmat]

Avevo tirato in ballo il valore assoluto per la disuguaglianza (media geom.)<=(media arit.). Considerando che $ x,y $ non sono reali positivi avevo pensato di risolvere come: $ (xy)^(1/2)<=(x+y)/2 hArr |xy|<=(x^2+2xy+y^2)/4hArr |xy|<=(x^2+y^2)/4+(xy)/2 $ e da qui poi risolvere i due casi in cui $ xy>=0 $ e $ xy<0 $. Poi però mi hai fatto notare che la disuguaglianza citata inizialmente vale solo se $ x,y in RR^+ $ e quindi mi sono fermato.
Levando quest'ultima cosa potrebbe andar bene il ragionamento precedente ?

[Shocker]

Avevo tirato in ballo il valore assoluto per la disuguaglianza (media geom.)<=(media arit.). Considerando che $ x,y $ non sono reali positivi avevo pensato di risolvere come: $ (xy)^(1/2)<=(x+y)/2 hArr |xy|<=(x^2+2xy+y^2)/4hArr |xy|<=(x^2+y^2)/4+(xy)/2 $ e da qui poi risolvere i due casi in cui $ xy>=0 $ e $ xy<0 $. Poi però mi hai fatto notare che la disuguaglianza citata inizialmente vale solo se $ x,y in RR^+ $ e quindi mi sono fermato.
Levando quest'ultima cosa potrebbe andar bene il ragionamento precedente ?

Il ragionamento va bene ma secondo me è meglio se consideri $( (xy)^2)^(1/2)$ e non $(xy)^(1/2)$, così sorvoli direttamente la condizione d'esistenza della radice perché $(xy)^2 >= 0$ indipendentemente dai segni di $x,y$.

Ancora meglio così(senza radici quadrate): $xy <= |xy| <= (x^2 +y^2)/2$ e ciò implica che $-1/2 <= (xy)/(x^2 +y^2) <= 1/2$.

Spero di non aver detto cavolate(dovrebbe tornare tutto) e mi scuso per aver tirato in ballo una cosa che non c'entra nulla .

Ciao

[Meetmat]

Anche se in notevole ritardo, grazie.