limite di nepero

[alessandrof10]

ragazzi non so perche ma questo limite notevole non mi esce il testo è il seguente

$\lim_{n \to \+infty}e^n(1-1/sqrt(n))^(n^(3/2))$

io ho proceduto nel seguente modo

$\lim_{n \to \+infty}e^n(1-1/sqrt(n))^(n^(3/2))=e^n(1+1/(-n^(1/2)))^((n^(3/2)(-n^(1/2)))/((-n^(1/2))))=e^n*e^(
(n^(3/2))*(-n^(-1/2))) =e^n/e^n=1$

invece sul libro porta zero non capisco perche ??

[onlyReferee]

Ciao alessandrof10
Allora, ti faccio notare tre particolari fondamentali:

• Quando vai a sostituire nell'espressione il valore a cui tende la variabile del limite devi effettuare la sostituzione in tutta l'espressione non solo in parte di essa come hai fatto;
• Per ricavarti $-n^{\frac{1}{2}}$ all'esponente non occorre tutto quel giro, basta che metti un $-$ davanti a $\frac{3}{2}$ e moltiplichi per $-1$ (ergo elevi tutto l'esponente a $-1$ per le proprietà delle potenze in maniera del tutto equivalente);
• Mi sembra strano nel testo abbiano messo semplicemente $\infty$ e non $\pm \infty$ come valore a cui tende la variabile $n$ del limite: a me con $-\infty$ torna subito $0$ come valore finale dello stesso.

Ovviamente chiedi pure se qualcosa non dovesse esserti subito chiaro.

[alessandrof10]

allora grazie della risposta only ci sono alcune cose che non ho capito e che devo precisare
il punto 1 non ho capito cosa vuoi intendere per sostituzione in tutta espressione
per il punto due e solo un modo di scrivere qui ovviamente nella mia testa faccio come dici tu che è molto piu semplice ma per essere preciso ho scritto cosi
per il punto tre invece chiarisco il testo dice +infinito.
adesso da come dici tu l errore dovrebbe stare nella sostituzione del limite di nepero che tende a $e$ potresti dirmi chiaramente dove ho sbagliato

[dott.ing]

"Dover sostituire in tutta l'espressione" significa che non puoi calcolare il valore del limite prima solo per un pezzo e poi per un altro. In effetti lì sparisce una somma e un denominatore e questo non è legittimo.

Un buon trucco per risolvere quel limite è esprimere la potenza come esponenziale di base $e$ e ragionare sul limite del tipo $e^(f(n))$.

Prova, se hai dubbi chiedi.

[alessandrof10]

scusatemi ragazzi ma anche come dici tu non ho la piu' pallida idea di come faccia a uscire 0 ti mostro come faccio:

seguendo il tuo saggio consiglio riscrivo la potenza con identità $(f_n)^n=e^(nln(f_n))$ dopo raccolgo tutto sotto un unica $e$
$e^(\lim_(n->+infty)(n+n^(3/2)ln(1-1/sqrt(n))) $

moltiplico e divido esponente $(-sqrt(n))$ e con il denominatore faccio il prodotto con $-n^(3/2)n^(-1/2)=-n$

$\lim_(n->+infty)(n+ln(1-1/sqrt(n))^((-sqrt(n))(-n))) $

da qui anche se passo all' limite e considerando il limite notevole esce comunque

$+infty+lne^(-infty)=+infty+ln0 -> +infty-infty $

cerco aiuto disperato ahaha


poi anche se raccolgo $n$ e moltiplico e divido per $n$ cioè:

$\lim_(n->+infty)n^2(1/n+ln(1-1/sqrt(n))^((-sqrt(n)))) $

passnado al limite esce $+infty(0+1)=+infty $ invece deve uscire $-infty$

[CaMpIoN]

Anch'io ho provato a risolverlo e mi trovo $1$ come risultato.

[alessandrof10]

grazie Champion mi consoli vuol dire che non solo l'unico a cui non esce questo maledetto limite cmq la strada della riuscita è vicina cè da risolvere nel ultimo mio messaggio solo la forma di indecisione $+infty - infty $ ma tra stratagemmi e limite notevoli non riesco a togliere che poi alla fine quell'ultimo limite deve fare che ho scritto sopra deve fare $-infty$ cosi che elevato alla $e$ mi dia zero

[dott.ing]

Faccio prima un appunto su una cosa che mi è sfuggita ieri. Non ha senso parlare di limite a $-infty$ per quell'espressione, che non è lontanamente definita da quelle parti.

Abbiamo infatti due esponenziali e una radice a indice pari; la funzione è pertanto definita sui reali nell'intervallo:
$\{(n>0),(n>=0),(1-1/(sqrt(n))>0):} rArr n>1$, ossia sull'intervallo aperto $(1,+\infty)$.

Veniamo alla soluzione (se non ho sbagliato i conti...).

Vogliamo mostrare che: $ \lim_(n->+infty)(n^(3/2)ln(1-1/sqrt(n))+n)=-infty$.
Poniamo $1/sqrtn=x$, perciò, essendo $n->+infty$, abbiamo $x->0^+$. Il limite diventa:
$lim_(x->0^+)x^(-3)\ln(1-x)+1/x^2=lim_(x->0^+)\frac{ln(1-x)+x}{x^3}$ \( \displaystyle \overset{H}{=} \) $lim_(x->0^+)\frac{x/(x-1)}{3x^2}=lim_(x->0^+)1/(3x^2-3x)=-infty$.

[alessandrof10]

da quanto ho capito hai utilizzato del hopital nel ultima parte ma essendo un tradizionale dei limite ho cercato di continuare il tuo lavoro con le solite tecniche moltiplico e divido ecc e esce anche a me $-infty$

adesso che e tutto risolto ti porgo una domanda: è un errore applicare la la sostituzione ($n->+infty x->0^(+)$) solo al limite notevole ??? cioè quello che facevo io era proprio di fare la sostituzione solamente per il limite notevole ($(ln(1+x)/x)=1$) mentre tutto il resto lo mandavo a $+infty$

[onlyReferee]

[...]
adesso che e tutto risolto ti porgo una domanda: è un errore applicare la la sostituzione ($n->+infty x->0^(+)$) solo al limite notevole ??? cioè quello che facevo io era proprio di fare la sostituzione solamente per il limite notevole ($(ln(1+x)/x)=1$) mentre tutto il resto lo mandavo a $+infty$

Sì perché lavorando così è come se alterassi l'espressione iniziale.