Simmetrico di un piano rispetto ad un altro piano.

[biowep]

Salve, devo trovare il piano simmetrico \(\displaystyle \beta' \) di un piano \(\displaystyle \beta \) rispetto ad un piano \(\displaystyle \alpha \)
\(\displaystyle \alpha:x+y-1=0 \)
\(\displaystyle \beta:x+2y-2z=0 \)
\(\displaystyle \beta':2x+y+2z-3=0 \) (risultato)

Io ho pensato di trovare un retta che congiunga il punto \(\displaystyle v_\beta(1,2,-2) \) rappresentato dal vettore perpendicolare a \(\displaystyle \beta \) con la proiezione ortogonale su \(\displaystyle \alpha \). Questa retta è \(\displaystyle P(t)=(1,2,-2)+t(1,1,0) \).
\(\displaystyle P(0)=v_\beta \), \(\displaystyle P(-1) \) è invece il punto di proiezione di \(\displaystyle v_\beta \) su \(\displaystyle \alpha \).
Ho concluso che il simmetrico a tale punto non può che trovarsi in \(\displaystyle t=-2 \). Ma il risultato non è corretto.
\(\displaystyle P(-2)=(-1,0,-2)\Rightarrow\beta':-x-2z+d=0 \)

[biowep]

La risposta è che il procedimento descritto funziona solo per piani passanti per l'origine. Quindi devo considerare \(\displaystyle \alpha:x+y=0 \). Troverò il vettore direttore del piano, poi mi servirà solo prendere un punto del piano (usando l'intersezione tra \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) per trovare l'incognita \(\displaystyle d \) (termine noto dell'equazione di \(\displaystyle \beta' \))).
Se conoscete metodi più rapidi fatelo sapere però.

[biowep]

Tra i piani di questo fascio occorre cercare i $beta'$ tali che $alpha$ bisechi i diedri formati da $beta,beta'$.

È esattamente così che spiega anche la soluzione in mio possesso. Non ci ho capito niente li e non capisco niente neanche di questa. Semmai dovessi risolvere un esercizio simile credo che farò come ho detto. È più intuitivo.

[biowep]

Potrei farti un disegnino per mostrare come il piano $alpha$ divide in parti uguali gli "angoli" formati
dai piani $beta$ e $beta'$ ma temo che sarebbe inutile: sono troppe le cose che ignori !
Tra le cose che non conosci c'è sicuramente la buona educazione...
P.S. Puoi rispondere come ti pare. Non perderò altro tempo con te : è difficile combattere contro l'ignoranza presuntuosa.

Caspita, questa proprio no me l'aspettavo.
Non mi sembrava proprio di essere stato scortese e se hai avuta la percezione che lo sia stato, non era mia intenzione.
Chiedo venia, ma non ho idea per cosa.
Grazie comunque.