serie parametriche x app. R

[alessandrof10]

$\sum_{k=1}^infty (4^(x+2))^n/(2n^2 7^n)$

il mio svolgimento è il seguente:

uso il criterio della radice

$root(n)((4^(x+2))^n/(2n^2 7^n))=1/(root(n)(2n^2))((4)^(x+2))/7$

poniamo il limite e ricordiamoci che la nostra serie converge se il limite è $0<=L<1$
quindi

$\lim_{n \to \infty}1/(root(n)(2n^2))=1$

quindi rimane solo

$((4)^(x+2))/7$ visto che sono un po arrugginito con gli esponenziali ditemi voi se sbaglio qualcosa
quindi ponendo la disuguaglianza per la nostra convergenza abbiamo

$((4)^(x+2))/7<1$ usando identità scriviamo $(e^(ln(4)^(x+2)))/(e^ln(7))<e^ln(1)-> e^((x+2)(ln(4))/ln(7))<e^ln(1)$

adesso avendo stessa base confronto solo gli esponenti dell esponenziale e sapendo che $ln1=0$

$(x+2)ln4/ln7<0$

la disuguaglianza infine mi porta a dire che la serie converge per ogni $x<-2$
ma sul libro ce scritto che converge per $x<=ln7/ln4-2$ dove sbaglio ??????

[stormy]

$4^(x+2)<7$
$x+2<log_4(7)$
dalla formula del cambiamento di base $log_4(7)=ln7/ln4$

[alessandrof10]

Grazie stormy ho capito l errore che ho commesso una piccola distrazione nella proprietaì del logaritmi infatti
se considero la disuguaglianza in questo modo $4^(x+2)<7$ e semplice e mi viene il risultato del libro cioè facendo tutti i passaggi esce :

$e^((x+2)ln(4))<e^ln7 -> (x+2)<ln7/ln4 -> x<ln7/ln4-2$

se invece considero come avevo fatto prima

$(4^(x+2))/7<1$

$e^((x+2)ln(4))*e^(-ln(7))<e^ln(1) -> (x+2)ln(4)-ln(7)<ln(1) -> xln(4)+2ln(4)-ln(7)<ln(1) -> xln(4)+2ln(4)/ln(7)<ln(1) $

in quest ultimo passaggio ho commesso l errore infatti dovrebbe essere $2ln(4)-ln(7)=2ln(4/7)$ che è una cosa ben diversa ed inutile . Invece io avrei dovuto fare cosi $(x+2)ln(4)<ln(1)+ln(7)=ln(7*1) -> x<ln(7)/ln(4)-2 $
svelato il gravissimo errore di distrazione grazie mille stormy speriamo che non li faccio in sede d esame !!!