"Radice quadrata" di N(0,1)

[Pappappero]

Buongiorno.

Premetto che la mia preparazione in probabilità è deboluccia, ma mi trovo a dover usare alcuni strumenti in altri ambiti della matematica.

Il mio problema, forse assolutamente banale, è il seguente. Mi chiedo se esiste una distribuzione di probabilità $\mathcal{D}$ con la seguente proprietà: se $X,Y$ sono variabili aleatorie con distribuzione $\mathcal{D}$ allora il prodotto $XY$ ha distribuzione $N(0,1)$.

Più in generale, fissato un intero $n$, avrei bisogno di una distribuzione di probabilità $\mathcal{D}_n$ per cui, se $X_1 , ... , X_n$ sono variabili aleatorie con distribuzione $\mathcal{D}_n$, allora il prodotto $X_1 \cdots X_n$ è $N(0,1)$.

Sono abbastanza sicuro che se queste cose esistono sono anche abbastanza studiate. Tuttavia non ho trovato molte informazioni in merito.

Grazie

[elgiovo]

Assumo che tu voglia le due v.a. da moltiplicare indipendenti e identicamente distribuite.

Se ne hai due con densita' $f(\cdot)$ si tratta di risolvere

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)f\left(\frac{z}{x}\right)\frac{1}{|x|}\text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} \)

Puoi provare, ma non mi sembra banale.
Sei sicuro che il prodotto non debba essere LOG-normale? Perche' in quel caso e' noto che le variabili di partenza sono ancora log-normali.

[Pappappero]

Stamani, prima di leggere la tua risposta, ero arrivato alla stessa condizione per la densità di $X$ e $Y$.

Per quanto riguarda il commento sulle log-normali, sinceramente non lo so...avevo un problema in cui mi avrebbe fatto comodo una distribuzione con quella proprietà, ma appunto la mia preparazione su queste cose non è molto ferrata. Forse può far comodo anche se la distribuzione del prodotto è log-normale...hai un po' di bibliografia/commenti/esempi ?