Teorema del prolungamento massimale

[daenerys]

Non ho ben chiara la dimostrazione di tale teorema:

Ogni soluzione di $y'(t)=f(t,y(t))$ ha un unico prolungamento massimale

In pratica la dimostrazione che ho sul quaderno inizia così:
Sia y: I->$R^n$ una soluzione del nostro problema e sia poi P l'insieme di tutti i prolungamenti della soluzione y
Si definisce poi y1: I1->$R^n$ dove I1 è definito come l'unione di tutti gli intervalli dei prolungamenti
successivamente non capisco più cosa fa..

[gugo82]

Si tratta di costruire "a mano" il prolungamento massimale di una funzione.

Cerco di formalizzare meglio.
Hai un PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = f\big(t,y(t)\big)\\
y(t_0)=y_0
\end{cases}
\]
e sei in ipotesi di esistenza ed unicità locali (quindi, ad esempio, hai \(f(t,y)\) globalmente continua nel suo aperto di definizione e localmente Lipschitz rispetto alla \(y\)).
Per ipotesi, il PdC ha un'unica soluzione locale \(\hat{y}(\cdot)\) definita in un intervallo \(\hat{I}\) contenente \(t_0\); quindi ciò ti consente di considerare la classe:
\[
\mathcal{Y}:= \left\{ (I_\alpha,y_\alpha),\text{ con } I_\alpha \text{ intorno aperto di } t_0 \text{ ed } y_\alpha : I_\alpha \to \mathbb{R} \text{ soluzione locale del PdC}\right\}\; ,
\]
i cui elementi sono coppie ordinate del tipo "intervallo di definizione - soluzione del PdC", che non è vuota perché contiene almeno \((\hat{I},\hat{y})\).

Considera due coppie \((I_1,y_1), (I_2,y_2)\in \mathcal{Y}\): chiaramente, essendo \(I_1\) ed \(I_2\) intorni aperti di \(t_0\), si ha \(I_1\cap I_2 \neq \varnothing\) e l'ipotesi di unicità locale ti consente di dire che \(y_1(t)=y_2(t)\) per ogni \(t\in I_1\cap I_2\); ne consegue che la funzione:
\[
y_{1,2}(t) := \begin{cases} y_1(t) &\text{, se } t\in I_1\\
y_2(t) &\text{, se } t\in I_2
\end{cases}
\]
è ben definita ed è una soluzione del PdC assegnato.
Se \(I_2\neq I_1\), allora \(y_{1,2}\) risulta definita nell'insieme \(I_1\cup I_2\), il quale è strettamente più grande di \(I_1\) (ed anche di \(I_1\)), e su \(I_1\) si ha \(y_{1,2}=y_1\): pertanto \(y_{1,2}\) è un prolungamento di \(y_1\) all'insieme \(I_1\cup I_2\).
D'altra parte, anche se \(I_1=I_2\), allora \(y_{1,2}=y_1\) ovunque in \(I_1\cup I_2=I_1\); perciò \(y_{1,2}\) è ancora un prolungamento di \(y_1\), seppure banale.

Quello che si capisce è che questo ragionamento si può ripetere considerando non solo due coppie di elementi di \(\mathcal{Y}\), ma tutte le coppie di tale classe.
In particolare, posto:
\[
I:=\bigcup_{\alpha} I_\alpha
\]
definisci l'applicazione \(y:I\to \mathbb{R}\) mediante l'assegnazione:
\[
y(t) = y_\alpha (t)\quad \text{, se } t\in I_\alpha\; ;
\]
usando il teorema di unicità locale, puoi provare che se \(t\) appartiene a due intervalli \(I_\alpha\) ed \(I_\beta\), allora il valore \(y(t)\) non dipende né da \(\alpha\) né da \(\beta\), di modo che l'applicazione \(y\) è ben definita dalla posizione precedente; inoltre, \(y\) è soluzione del PdC assegnato.

Per quanto detto sopra, la \(y\) prolunga ad \(I\) ogni possibile soluzione locale del PdC; inoltre, essa non si può in alcun modo prolungare in senso stretto (come puoi facilmente dimostrare ragionando per assurdo).
Perciò, la \(y\) è il prolungamento massimale di ogni soluzione del tuo PdC, cioé è la soluzione massimale che andavi cercando.