da CaMpIoN » 28/07/2014, 00:41
Poni numeratore e denominatore maggiore o uguale a zero con il denominatore solo maggiore, per il numeratore hai:
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} |x-3|\geq 0\)
La funzione logaritmo per basi minori di $1$ è decrescente, i segni si invertono
\(\displaystyle |x-3|\leq 1 \quad \to \quad 3-1\leq x\leq 3+1 \quad \to \quad 2\leq x\leq 4 \)
Per il denominatore si ha:
\(\displaystyle \log_3 (x-1)>0 \)
La funzione logaritmo per basi maggiori di $1$ è crescente:
\(\displaystyle x-1>1 \quad \to \quad x>2 \)
Devi fare il prodotto dei segni del sistema di disequazioni seguenti
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
2\leq x\leq 4\\
x>2
\end{array}
\right.
\)
Si ottiene
\(\displaystyle x\leq 4 \quad \land \quad x\neq 2 \)
Adesso bisogna considerare le condizioni di esistenza, il logaritmo non può avere argomento negativo o pari a zero, a numeratore l'argomento può solo essere positivo o uguale a zero, nel caso sia uguale a zero si ha:
\(\displaystyle x-3=0 \quad \to \quad x=3 \)
Quindi $x\ne 3$ è una condizione di esistenza. Per il denominatore l'argomento può essere negativo uguale a zero o positivo, prendiamolo solo positivo, quindi
\(\displaystyle x-1>0 \quad \to \quad x>1 \)
A questo punto dobbiamo prendere l'intersezione del sistema
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
x\leq 4 \quad \land \quad x\neq 2\\
x\neq 3\\
x>1
\end{array}
\right.
\)
La soluzione è:
\(\displaystyle y\geq 0 \Longleftrightarrow 1<x\leq 4 \quad \land \quad x\neq 2 \quad \land \quad x\neq 3 \)
Chiunque smetta di imparare è vecchio, che abbia 20 o 80 anni. Chiunque continua ad imparare resta giovane. La più grande cosa nella vita è mantenere la propria mente giovane. (Henry Ford)