punti di discontinuità e limiti notevoli

[alessandrof10]

ciao ragazzi volevo sapere se tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili poi vorrei che qualcuno mi dicesse quanto facciano questi limiti destri e sinistri $\lim_(x-> 0^(-)) (sen(x))/x$ e il $\lim_(x-> 0^(+)) (sen(x))/x$ visto che questa funzione ha una discontinuità eliminabile allora i due limiti devono essere uguali ma diversi da $1$

se volete essere gentili potete dirmi il perche il limite qui sotto faccia $0$ quando a me esce $1$ qualcuno a tentato di rispondermi ma non è stato chiaro e non mi ha fatto capire dove sto sbagliando
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=135655

grazie anticipatamente

[Brancaleone]

Ciao alessandrof10

vorrei che qualcuno mi dicesse quanto facciano questi limiti destri e sinistri $\lim_(x-> 0^(-)) (sen(x))/x$ e il $\lim_(x-> 0^(+)) (sen(x))/x$ visto che questa funzione ha una discontinuità eliminabile allora i due limiti devono essere uguali ma diversi da $1$

Come "diversi da 1"? Il limite notevole $lim_(x->0) sin(x)/x=1$ si dimostra attraverso il teorema del confronto:

$sin(x)<x<tan(x)$

$sin(x)/sin(x)<x/sin(x)<tan(x)/sin(x)$

$1<x/sin(x)<cos(x)$

$=>1>sin(x)/x>1/cos(x)$

e poiché

$lim_(x->0)1=lim_(x->0)1/cos(x)=1$

il limite della funzione "in mezzo" deve fare 1 anch'esso.

[alessandrof10]

allora partendo dal presupposto che questa è una funzione di discontinuità eliminabile quindi segue da definizione che i limiti da destra e da sinistra($0^+ 0^-$) devono essere uguali ma diversi dal limite che tende a zero($0$) quindi adesso da quanto sto leggendo su i forum sto capendo che i limiti destro e sinistro($0^+ 0^-$) valgono $1$ mentre il limite che tende a $0$ non è definito quindi in quel punto la funzione sara $0/0$ e ci sarà un punto vuoto su un grafico ma per renderla continua bisogna costruire una nuova funzione definendo nel domino che per x=0 la funzione vale 1.adesso se ho capito bene questo mi dici se TUTTI I LIMITI NOTEVOLI hanno delle discontinuità eliminabili ???

[Brancaleone]

allora partendo dal presupposto che questa è una funzione di discontinuità eliminabile quindi segue da definizione che i limiti da destra e da sinistra($0^+ 0^-$) devono essere uguali ma diversi dal limite che tende a zero($0$)

E perché mai? Se in punto della funzione il limite destro ha valore $y_0$, e il limite sinistro ha lo stesso valore $y_0$, allora il limite (senza distinzione tra destra e sinistra) deve valere sempre $y_0$.

[alessandrof10]

no brancaleone in $0$ la funzione non è definita e non sappiamo cosa fa infatti se mandi al limite esce $0/0$ ma noi per risolvere questa cosa andiamo ad analizzare cosa succede sia a destra e sinistra del limite e vediamo che tendono a 1. spero che qualcuno mi spieghi meglio le cose se ho capito male ma i libri dicono cosi

[Brancaleone]

no brancaleone in $0$ la funzione non è definita e non sappiamo cosa fa infatti se mandi al limite esce $0/0$ ma noi per risolvere questa cosa andiamo ad analizzare cosa succede sia a destra e sinistra del limite e vediamo che tendono a 1.

Appunto: la funzione

$f(x)=sin(x)/x$

ha dominio $RR\\{0}$, e quindi per tale funzione non si può calcolare $f(0)$.
Però il limite $lim_(x->0) f(x)$ esiste e vale $1$, come ti ho già mostrato più sopra, quindi puoi ricavare una seconda funzione $g(x):RR->RR$ tale che

$g(x)={ ( f(x) if x ne 0 ),( 1 if x=0 ):}$

che esiste nel punto $x_0=0$.

[alessandrof10]

giusto mi sono confuso su la definizione discontinuità eliminabile cioè

$\lim_(x->0^(+-))(sin(x))/x!=f(0)$ e no invece come affermavo io sopra che $\lim_(x->0^(+-))(sin(x))/x!=\lim_(x->0)(sin(x))/x$

quindi chiarita questa cosa allora tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili ???
e poi se hai due minuti potresti guardare quel link sono un pallio di giorni che non capisco dove sbaglio in quel limite

ah grazie di avermi risposto

[Brancaleone]

quindi chiarita questa cosa allora tutti i limiti notevoli sono delle discontinuità eliminabili ???

Beh in generale no; esistono limiti notevoli che divergono a $+oo$ o $-oo$, e quelle discontinuità non le puoi "scavalcare" così.

e poi se hai due minuti potresti guardare quel link sono un pallio di giorni che non capisco dove sbaglio in quel limite

Se risponderò lo farò in quell'altro thread

ah grazie di avermi risposto

Di nulla, l'importante è che hai capito

[alessandrof10]

ok grazie sisi ho capito sei stato molto esauriente nelle spiegazione e a farmi capire dove sbagliavo