Problemi semplificazione fattoriale

[gi.ci]

Buonasera a tutti!
Come da titolo, ho vari dubbi sulla semplificazione fattoriale!
1) Mi viene richiesto di risolvere la seguente equazione: $ ((n!)/((x-10)!)- (n!)/((n-8)!))/((n!)/((n-8)!) $
Nella soluzione dell'esercizio, fatta dal professore, mi sono trovata come primo passaggio: $ (((n-9)(n-10))/((x-8)!)- (1)/((n-8)!))/((1)/((n-8)!) $
.... Come ha fatto?

2) Data la seguente equazione $ 25x! + (x+1)! = (x+2)! $
Per iniziare a semplificare, da dove devo partire? Nel senso se sviluppo $ x! $ o $ (x+1) ! $ o $ (x+2) ! $ , ottengo lo stesso risultato o c'è una regola per cui devo iniziare a semplificare da una determinata parte?

Scusate le tremila domande, ma questi esercizi capitano sempre in sede d'esame.. L'unico problema è che il professore non ci ha fatto alcun esempio sostanziale, ci ha solamente dato la definizione di fattoriale e ci ha ''illustrato'' qualche blando esempio!

Grazie per la pazienza e per l'aiuto (Spero)!!

[stormy]

1)il passaggio è sbagliato:infatti,dividendo sia i termini del numeratore che del denominatore per $n!$,si ottiene che il primo termine del numeratore è $1/((x-10)!)$
ma ,siccome$(x-8)! = (x-8)(x-9)(x-10)!$, si ha che $1/((x-10)!)=((x-8)(x-9))/((x-10)!)$

2)dividi tutti i termini per $x!$

[gi.ci]

1) Sì scusa!! $ x $ è errore di battitura!!
Grazie mille!! Non sai il peso che mi hai tolto!! Ho passato tutta la giornata di ieri a capire come potesse essere possibile un simile passaggio!

2) Per quanto riguarda questa equazione: $ 25x! + (x+1)! = (x+2)! $ hai detto che, praticamente, dovrei risolverla così: $ 25x! + (x+1)(x)! = (x+2)(x+1)(x)! $ , semplificando la $ x! $, giusto?
Ecco, la mia domanda in questione è: per quale motivo non sarebbe corretto sviluppare, per esempio, in questo modo: $ 25x(x+1)! + (x+1)! = (x+2)(x+1)! $ per poi semplificare $ (x+1)! $ ? C'è qualche ''regola'' che me lo vieta?

[stormy]

eh,ma $x(x+1)!$ non è uguale a $x!$

[dott.ing]

si ha che $1/((x-10)!)=((x-8)(x-9))/((x-10)!)$

Piccola svista: $1/((x-10)!)=((x-8)(x-9))/((x-8)!)$

[stormy]

sì,giusto

[gi.ci]

eh,ma $x(x+1)!$ non è uguale a $x!$

Scusa la domanda stupida.. Perchè non è uguale? >.<

si ha che $ 1/((x-10)!)=((x-8)(x-9))/((x-10)!) $

Piccola svista: $ 1/((x-10)!)=((x-8)(x-9))/((x-8)!) $

No, ora mi sono persa..
Il procedimento per risolverla, non è questo? :
$ ((n!)/((n-10)!))/ ((n!)/((n-8)!)) = 109+ ((n!)/((n-8)!)) /((n!)/((n-8)!) $ dove $ ((n!)/((n-8)!)) /((n!)/((n-8)!) $ si semplificano, mentre $ ((n!)/((n-10)!))/ ((n!)/((n-8)!)) $ diventa $ (n!)/((n-10)!)* ((n-8)!)/(n!) $ per cui $ n! $ e $ n! $ si semplificano e sapendo che $ (n-8)! = (n-8)(n-9)(n-10)! $, $ (n-10)! $ e $ (n-10)! $ si semplificano, rimanendo in fine solo con $ (n-8)(n-9)=109+1 $ ?

[dott.ing]

eh,ma $x(x+1)!$ non è uguale a $x!$

Scusa la domanda stupida.. Perchè non è uguale? >.<

$x(x+1)! =x(x+1)x! !=x!$

No, ora mi sono persa..
Il procedimento per risolverla, non è questo? :
$ ((n!)/((n-10)!))/ ((n!)/((n-8)!)) = 109+ ((n!)/((n-8)!)) /((n!)/((n-8)!) $

Da dove salta fuori questa equazione? Riesci a scrivere il testo completo?

Comunque si cercava di dire, riferendosi all'espressione del primo post, semplicemente che $frac{(n!)/((n-10)!)-(n!)/((n-8)!)}{(n!)/((n-8)!)}= (((n-8)(n-9))/((n-8)!)- (1)/((n-8)!))/((1)/((n-8)!)$.

[gi.ci]

eh,ma $x(x+1)!$ non è uguale a $x!$

Scusa la domanda stupida.. Perchè non è uguale? >.<

$x(x+1)! =x(x+1)x! !=x!$

No, ora mi sono persa..
Il procedimento per risolverla, non è questo? :
$ ((n!)/((n-10)!))/ ((n!)/((n-8)!)) = 109+ ((n!)/((n-8)!)) /((n!)/((n-8)!) $

Da dove salta fuori questa equazione? Riesci a scrivere il testo completo?

Comunque si cercava di dire, riferendosi all'espressione del primo post, semplicemente che $frac{(n!)/((n-10)!)-(n!)/((n-8)!)}{(n!)/((n-8)!)}= (((n-8)(n-9))/((n-8)!)- (1)/((n-8)!))/((1)/((n-8)!)$.

Oddio... Mi sa che sto facendo un casino
Allora provo a spiegare bene i miei dubbi...
In merito a $ x! $, io pensavo che essendo $ x! = x(x-1)! $, questa forma potesse essere ''estesa anche per i numeri positivi'' cioè che $ x! = x(x+1)! $, ma evidentemente non è così.. Però non ho capito il perchè Se potessi spiegarmelo in termini semplici te ne sarei grata

E poi, in merito all'espressione del primo post.. Non capisco perchè $ 1/ ((n-10)!) = ((n-8)(n-9))/((n-8)!) $

[dott.ing]

Cosa intendi per "estesa anche per i numeri positivi"?

Dunque, senza scomodare questioni più avanzate, il fattoriale $n!$ è definito solo per numeri naturali: $0, 1, 2, ...$.
Si ha che $0! =1$ e che $n! =n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot...\cdot2\cdot1$.

Una diretta conseguenza di questa definizione è che $n! =n(n-1)!$ ossia, ad esempio, $7! =7\cdot6!$. Non ha senso parlare di estensione ai positivi (forse intendevi numeri maggiori?)...
Banalmente risulta $n(n-1)!!=n(n+1)!$ (riprendendo l'esempio: $7! =7\cdot6!!=7\cdot8!$). È più chiaro ora?

Seconda questione. Abbiamo detto che $(n-8)! =(n-8)(n-9)(n-10)!$ (questo è chiaro?)
Da ciò segue $(n-10)! =frac{(n-8)!}{(n-8)(n-9)}$ ossia $1/((n-10)!)=frac{(n-8)(n-9)}{(n-8)!}$.