da RenzoDF » 08/08/2014, 17:31
Partendo da una relazione generale per l'energia elettrostatica contenuta in un volume V, particolarizzata per una configurazione a simmetria sferica come quella del problema, via integrazione del prodotto fra quella specifica relativa alla generica distanza r dal centro del sistema ed il volume infinitesimo del guscio sferico di raggio r e spessore dr, avremo che
$$U_E=\int_{V}^{ }\frac{1}{2}\epsilon _0 | \vec{E}(r)|^{2}dV$$
Visto che la carica netta Q è presente solo sulla sfera interna, avremo che la differenza fra le due configurazioni: iniziale con sfera interna centrale separata e finale con sfera interna in contatto con sfera cava, starà semplicemente nella presenza o nella assenza di campo elettrico nell'intercapedine, in quanto il campo all'esterno della sfera cava non subirà nessun cambiamento fra le due situazioni.
Per calcolare la differenza fra le due energie basterà quindi calcolare quella presente nell'intercapedine nella prima configurazione, che andrà a sparire nella seconda configurazione.
$U_f-U_i=0-U_i=-\int_{R_1}^{R_2}\frac{\epsilon _0}{2}\frac{Q^{2}}{16\pi ^2 \epsilon _0^2\ r^4} (4\pi r^{2})dr=-\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon _0 }[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}]=\frac{5 Q^{2}}{8\pi\epsilon _0 }\approx -2.25 \mu J$
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)