Polinomio privo di radici in un campo finito

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti. Sono alle prese con un esercizio di Algebra che chiede di determinare $f \in A[x]$ privo di radici, dove $A$ è un campo finito. Qualcuno può `instradarmi'?

Grazie,

Rodolfo

[j18eos]

Due parole: polinomio fondamentale!

[Rodolfo Medina]

Non capisco: il polinomio fondamentale su un campo finito ammette appunto tante radici quanti sono gli elementi del campo. Invece l'esercizio in questione chiede un polinomio privo di radici a coefficienti su un campo finito.

[j18eos]

Sì, esatto, e se lo "perturbi un pò" che succede?

[Rodolfo Medina]

...magari, che so, aggiungendogli $1$?

[j18eos]

Bingo!, anzi: tombola!

[Rodolfo Medina]

Però, se è per quello, e anche se $A$ non è un campo e/o non è finito, un qualunque polinomio non nullo e costante è privo di radici, no?

[j18eos]

Sì, però così l'esercizio diviene banale; suppongo che il polinomio da cercare debba avere almeno grado \(\displaystyle2\), il grado \(\displaystyle0\) è banale mentre il grado \(\displaystyle1\) è da escludere!

[Gi8]

Ma $A$ è un campo finito generico?

[j18eos]

Sì, e per ogni campo finito tu puoi considerarne il polinomio fondamentale!

Dov'è il dubbio?