Integrale lungo gamma in Analisi Complessa

[mIRChele]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:

Calcolare $\int_{\gamma} 1/(e^(iz)-1) dz$ , dove $\gamma= { z \in \mathbb{C}: |z|=3pi } $

$\gamma$ credo sia una circonferenza percorsa in senso antiorario con raggio $3pi$ , ma non ne sono sicuro.
Vado quindi avanti utilizzando i residui (nel polo z=0) e quindi mi esce questo limite:
$lim_(z\rightarrow 0) (1/(e^(iz)-1))(z-0) = lim_(z\rightarrow 0) z/(e^(iz)-1) =$ (per De l'Hopital) $ lim_(z\rightarrow 0) 1/(ie^(iz)) $
che per z che tende a 0 diventa $1/i=-i$
Quindi dopo ricorro alla formula (moltiplicare la sommatoria dei residui per $2pii$) ma non mi convince il risultato ottenuto, perchè ha la parte immaginaria negativa e non sono sicuro che si possa fare...
Non trovo altri esercizi svolti di questo genere che mi aiutino a comprendere meglio quello che devo fare, quindi non sono certo su come muovermi... Suggerimenti?

[gugo82]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:

Calcolare $\int_{\gamma} 1/(e^(iz)-1) dz$ , dove $\gamma= { z \in \mathbb{C}: |z|=3pi } $

$\gamma$ credo sia una circonferenza percorsa in senso antiorario con raggio $3pi$ , ma non ne sono sicuro.
Vado quindi avanti utilizzando i residui (nel polo z=0) e quindi mi esce questo limite:
$lim_(z\rightarrow 0) (1/(e^(iz)-1))(z-0) = lim_(z\rightarrow 0) z/(e^(iz)-1) =$ (per De l'Hopital) $ lim_(z\rightarrow 0) 1/(ie^(iz)) $
che per z che tende a 0 diventa $1/i=-i$
Quindi dopo ricorro alla formula (moltiplicare la sommatoria dei residui per $2pii$) ma non mi convince il risultato ottenuto, perchè ha la parte immaginaria negativa e non sono sicuro che si possa fare...
Non trovo altri esercizi svolti di questo genere che mi aiutino a comprendere meglio quello che devo fare, quindi non sono certo su come muovermi... Suggerimenti?

Suggerimenti: leggi per bene l'enunciato del Primo Teorema dei Residui; riguardati la classificazione delle singolarità isolate; riprendi tutte le proprietà dell'esponenziale complesso.

[mIRChele]

mmm... dici che dovrei prima svilupparlo in serie di Laurent? Perchè è proprio quello che volevo evitare, visto che non riesco a capirle

[gugo82]

mmm... dici che dovrei prima svilupparlo in serie di Laurent? Perchè è proprio quello che volevo evitare, visto che non riesco a capirle

No, affatto.

Ed infatti, nelle cose che ti ho consigliato di rileggere, all'atto pratico, dello sviluppo di Laurent non sai che fartene.

[mIRChele]

mmm... sostituisco $e^(iz)$ con un termine $t$ e poi provo a farlo così? Credo di essermi impantanato, non riesco proprio a uscirne!

[Marie-Sophie]

Ciao mIRChele.
In primo luogo, ti esorto nuovamente (e caldamente) a fare quanto suggerito da gugo82 (altrimenti non potrai mai colmare le tue lacune!).
Ora, andiamo avanti. Quando ti trovi a dover risolvere un integrale lungo un certo cammino, devi (come prima cosa!) guardare per bene la tua funzione integranda. Questo perché (se rileggi l'enunciato del primo teorema dei residui, te ne accorgi) sono le singolarità di quest'ultima ad ''avere un peso'' nel calcolo del valore numerico del tuo integrale. Nel caso dell'esercizio che proponi, hai una frazione. Dunque, devi capire dove il denominatore si annulla. Si tratta di risolvere l'equazione
$e^(iz)=1$
Ti sei buttato a capofitto su 0, ma ti sei chiesto se ci sono altre soluzioni?
Risolta l'equazione e classificate le singolarità, devi capire quali di queste ''contano'' effettivamente nel calcolo del tuo integrale. Per far ciò, prendi il cammino d'integrazione e vedi quali singolarità cadono all'interno della regione da esso racchiusa. Solo di queste ultime devi calcolare i residui e, applicando il teorema dei residui, avrai il risultato.

[mIRChele]

in effetti dimentico sempre che l'esponenziale complesso è diverso dall'esponenziale reale... dunque qui i poli sono $2pin, n in ZZ$ e non solamente 0! Quindi credo che devo fare il residuo sui poli $2pi$ e $-2pi$ perchè interni alla mia circonferenza, e poi calcolare l'integrale utilizzando il teorema dei residui... Spero di aver compreso bene questa volta!

[mIRChele]

nessuno risponde? Devo sapere se ho detto bene!