studio della continuità e della derivabilità di fx

[alessandrof10]

allora come dice il titolo devo studiare la conti. e la deriv. di una funzione semplice giusto per capire come comportarmi vi mostro il mio procedimento e i miei dubbi


$f(x)=sqrt(1-x^2)$ facilmente individuo il duo domino $D: -1<=x<=1$ e so che la funzione e continua in questo intervallo

adesso ne studio la derivabilità quindi

$f(x)^'=-x/(sqrt(1-x^2))$ il domino della derivata è $-1<x<1$ esclusi i punti $-1,1$ (adesso in poi sorgono i dubbi )in quale la derivata in quel punto non è definita

adesso per provare definitamente che $-1,1$ non appartengono al domino della derivata prima devo fare il limite del rapporto incrementale in quei due punti sia da destra che sinistra e se sono uguali allora $-1,1$ appartengono anche loro al domino della derivata prima
quindi la funzione in $1$ e $-1$ ha come valore $0$ infatti $f(-1)=f(1)=0$ quindi

$\lim_(h->0^+)((0+h)-0)/h=1$
$\lim_(h>0^-)((0+h)-0)/h=1 $

concludo dicendo che i limiti del rapporto increm dx e sx sono uguali e allora i punti $-1$ e $1$ appartengono al domino di derivabilità della funzione ma sul mio libro ce scritto che intervallo di derivabilità è $-1<x<1$ perche ???


Tutto giusto si o no ??? grazie anticipatamente

[stormy]

Tutto giusto si o no ???

no

prendi ad esempio il punto $x_0=1$
la funzione è derivabile in questo punto se,e solo se, $ lim_(h -> 0^-)(f(1+h)-f(1))/h $ esiste ed è finito

[alessandrof10]

e scusa il limite esistono e sono finiti scusami non capisco dove è lo sbaglio che mi stai facendo notare

[stormy]

guarda che il limite che devi calcolare è il seguente $ lim_(h -> 0^-)sqrt(1-(1+h)^2)/h $ ,che penso non sia neanche lontano parente di quello che hai calcolato tu

[alessandrof10]

ci ho messo un po per capire da dove hai tirato fuori questo limite adesso e tutto chiaro

cioè per essere formali dovresti scriverlo in questo modo $\lim_(h-0^(+-)) (sqrt(1-(1+h)^2)-0)/h $

qundi facendo i limiti escono $+infty e -infty $

per il resto della trattazione è tutto giusto ??

[alessandrof10]

poi un altra cosa i punti di non derivabilità in cui la derivata non è definita sono gli stessi punti di discontinuità per la funzione allora non ce bisogno di fare il lim del rapp incrementale per vedere se in quei punti la derivata esiste ?? cioè affermo a priori basandomi su la continuità che la derivata in quel punto non esiste

[dott.ing]

$\lim_(h-0^(+-)) (sqrt(1-(1+h)^2)-0)/h $

qundi facendo i limiti escono $+infty e -infty $

Il limite per $h->0^-$ vale $-infty$, quello per $h->0^+$ non esiste.

[alessandrof10]

$\lim_(h->0) sqrt(-1-2/h)$ per $0^(-) ->sqrt(-1+infty)=+infty $ invece per $0^(+)->sqrt(-infty)$ giustamente non è definita la radice di meno infinito

ok dott ?? ti sei confuso sul meno infinito infatti è piu infinito nel primo limite

[dott.ing]

ok dott ?? ti sei confuso sul meno infinito infatti è piu infinito nel primo limite

Nope.

$\lim_(h-0^-)(sqrt(1-(1+h)^2))/h=\lim_(h-0^-)sqrt(h^2(-1-2/h))/h=\lim_(h->0^-) (-hsqrt(-1-2/h))/h=-\infty$.

[alessandrof10]

perche scrivi $-h$ caso mai dovresti scrivere $|h|$ cmq sia grazie potresti rispondermi gentilmente a

poi un altra cosa i punti in cui la derivata non è definita e sono gli stessi punti di discontinuità per la funzione allora non ce bisogno di fare il lim del rapp incrementale per vedere se in quei punti la derivata esiste ?? cioè affermo a priori basandomi su la continuità che la derivata in quel punto non esiste