Consideriamo una situazione come quella nella figura allegata : guardate prima in fondo, sotto il diagramma di Minkowski : sull'asse x c'è l'osservatore O , che si suppone in quiete, e l'osservatore O' che si muove verso destra con velocità $v$. All'estremo destro si produce ad un certo istante un evento P (ad es. lo scoppio di un petardo, l'urto di due palline….) . Questo evento ha coordinate :
$(x,t)$ rispetto ad O
$(x',t')$ rispetto a O'
Immaginiamo che O abbia emesso un raggio di luce che arriva in P proprio all'istante $t$ ; lo deve aver emesso evidentemente all'istante :
$t_1 = t - x/c $ -------(1)
del suo tempo. (guardate ora il diagramma di Minkowski, dove sono rappresentati gli assi spaziotemporali sia di O che di O' , tracciati con $c=1$ ).
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Questo raggio di luce arriva in O' all' istante di tempo (di O') : $t'_1 = k t_1$ -------(2)
dove $k$ è il fattore di Bondi, come già visto.
Possiamo rifare il ragionamento di prima, per il tempo $t'_1$ in relazione al tempo $t'$ dell'evento P valutato da O' ; cioè, se O' emette un segnale luminoso verso P (che segue la stessa linea rossa nel diagramma , visto che $c$ è uguale per O e per O') che deve arrivare a P all'istante $t'$ , lo deve emettere all'istante :
$t'_1 = t' - (x')/c$ -------(3)
che è del tutto analoga alla (1) . Siccome c'è di mezzo la (2) , possiamo quindi scrivere :
$t' - (x')/c = k (t-x/c) $ ------(4)
Ora è facile, per la riflessione del segnale da P all'indietro.
Per O' , il segnale emesso da P gli ritorna all'istante: $t'_2 = t' + (x')/c$ ------(5)
e prosegue per arrivare ad O nell'istante : $t_2 = t + x/c$ ------(6)
ma naturalmente c'è di mezzo il fattore di Bondi, quindi deve essere : $ t_2 = kt'_2$ ------(7)
cioe : $ t + x/c = k (t' + (x')/c) $ ------(8) .
Queste due equazioni, che riscrivo insieme :
$t' - (x')/c = k (t - x/c) $ ------(4)
$ t + x/c = k (t' + (x')/c) $ ----(8)
risolvono i due problemi : 1) invarianza dell'intervallo ; 2) trasformazioni di Lorentz (boost in configurazione standard) . Infatti :
1) dividiamole membro a membro e liberiamo dai denominatori :
$(t' - (x')/c)*(t' + (x')/c) = (t + x/c)*(t - x/c) $ --------(9)
da cui : $(ct')^2 - x'^2 = (ct)^2 - x^2 $ -------(10)
e questa è l'invarianza del modulo quadro del 4-vettore che individua l'evento P con le coordinate $(x,t)$ rispetto ad O , e le coordinate $(x',t')$ rispetto a O' .
Notiamo questo; scrivendo le due relazioni (2) e (7) :
$t'_1 = k t_1$------(2)
$ t_2 = kt'_2$ ------(7)
e uguagliando i $k$ , si ottiene l'invarianza del 4-intervallo nella forma : $t_1t_2 = t'_1t'_2$, ovvero reintroducendo $c$ :
$\Deltas^2 = c^2(t_1t_2) = c^2( t'_1t'_2)$ ------(11)
Questa formula, dovuta al fisico A.A.Robb (1936) , non si trova quasi mai nei libri di Relatività.
Potreste dire : ma quello che hai dimostrato è l'invarianza di un 4-intervallo particolare. Chi ci assicura che vale sempre, cioè tra due qualsiasi eventi ?
Risposta: i 4-vettori si comportano linearmente (chiedo scusa agli esperti, dovrei parlare di tensori come applicazioni multilineari, lo so….). Quello che cambia nella geometria pseudo euclidea della RR è il prodotto scalare dei 4-vettori. Ma per il resto, si tratta solo di fare un po' di algebra in più.
2) come si ricavano le trasformazioni di Lorentz (boost in config. standard) dalle (4) e (8) ?
Si ricavano con un po' di algebra, trovando dapprima :
$x' = 1/2(k + 1/k) x - 1/2( k - 1/k) ct $
$ t' = 1/2(k + 1/k) t - 1/2( k - 1/k) x/c $
e sostituendo il valore di $k(v)$ noto (v.precedente post) , si trova infine :
$x' = \gamma(x - vt) $
$t' = \gamma (t - (vx)/c^2 ) $
Ecco, con questo ho finito di annoiarvi.