Problema su Equazioni differenziali del primo ordine

[Gipobbe]

Buongiorno a tutti ragazzi, vorrei chiedervi aiuto su un esercizio che sto tentando di fare da ieri ma che non riesco a capire. Premetto che da poco ho iniziato a studiare le equazioni differenziali, quindi spero di essere il più chiaro possibile.
La consegna del problema dice: Per le seguenti equazioni determinare in quali sottoinsiemi del piano le (eventuali) soluzioni sono funzione crescenti, in quali punti hanno tangente orizzontale e infine dove sono decrescenti.
La prima equazione è:
y'(x) = x + y(x)
Detto questo, alla soluzione ci so arrivare, ed è
y(x) = Ce^x - x -1
Il problema sorge qui. Non so dove da dove partire per studiare la crescenza/decrescenza. Tanto meno guardando le soluzioni del libro mi viene in mente un modo.
La soluzione indicata dal libro è: Crescenti in [(x,y) : y > -x] tangente orizzontale in y = -x, decrescenti altrove.
Qualcuno saprebbe darmi qualche dritta su come risolvere il resto di questo esercizio, ed in generale esercizi simili? Io purtroppo non so da dove partire.
Ringrazio già chi avrà la pazienza di rispondermi.
Giovanni

[gugo82]

Quando è che una funzione di classe \(C^1\) è crescente [risp. decrescente]?
Quando la derivata prima è \(\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)].

Quando è che una soluzione di una EDO del tipo \(y^\prime (x)=f(x,y(x))\) ha derivata prima \(\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)]?
Quando \(x\) è un valore tale che \(f(x,y(x))\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)]. (Perchè?)

Mettendo insieme le due cose, la generica soluzione \(y(\cdot)\) della tua EDO è crescente [risp. decrescente] quando il suo grafico passa per una zona del piano in cui \(f(x,y)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)].

Quindi, se non si vuole essere qualitativi, per individuare le zone di monotonia delle soluzioni basta studiarsi il segno del secondo membro della EDO come funzione di due variabili.
Prova...

[Gipobbe]

Quando è che una funzione di classe \(C^1\) è crescente [risp. decrescente]?
Quando la derivata prima è \(\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)].

Quando è che una soluzione di una EDO del tipo \(y^\prime (x)=f(x,y(x))\) ha derivata prima \(\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)]?
Quando \(x\) è un valore tale che \(f(x,y(x))\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)]. (Perchè?)

Mettendo insieme le due cose, la generica soluzione \(y(\cdot)\) della tua EDO è crescente [risp. decrescente] quando il suo grafico passa per una zona del piano in cui \(f(x,y)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)].

Quindi, se non si vuole essere qualitativi, per individuare le zone di monotonia delle soluzioni basta studiarsi il segno del secondo membro della EDO come funzione di due variabili.
Prova...

Wow, penso di essermi complicato oltre modo la vita nei miei tentativi. Ti ringrazio molto per la risposta! Detto questo, per trovare i punti dove la tangente è orizzontale come mi dovrei muovere secondo te?
Grazie mille ancora per la risposta, sei stato chiarissimo! Adesso credo di aver capito come risolvere questo tipo di esercizi!

[gugo82]

Quando è che la tangente al grafico di una funzione è orizzontale?

[Gipobbe]

Quando è che la tangente al grafico di una funzione è orizzontale?

Quando la derivata è uguale a 0! Effettivamente mi sono risposto da solo..
Grazie infinite gugo82 per avermi guidato alla soluzione dei miei problemi! Sei mitico! Spero di non avere più problemi in futuro, ma mi rincuora sapere che ci sono persone come te disponibili ad aiutare chi ha difficoltà!