discussione del denominatore

[alessandrof10]

ragazzi la questione non è semplice in poche parole sto discutendo il dominio di una derivata complicata . la derivata in questione è :

$f(x)^'=1/(2xsqrt(arcsin(lnx))sqrt(1-ln^2(x)))$

il mio svolgimento è il seguente:

considerando per prima cosa il domino del arcsin(x) cioè $-1<=x<=1$ ma visto che $x$ e la funzione $log$ per questioni di domino del log il domino del $ arcsin(lnx)$ e solamente $x<=e$ ma considerando che ovviamente è sotto radice($x>0$) il domino di $sqrt(arcsin(lnx))$ sara $0<x<=e $

poi la $2x!=0 -> x!=0$

qui arriva la parte difficile allora considerando che $sqrt(1-ln^2(x))$ il domino sara per forza $1-ln^2(x)>0$ essendo una quantità sotto radice , poi risolvendo equazione associata mi esce che $1/e<x<e$ (ditemi se sbaglio ) ma disegnando tutte le linee delle 2 disqeuazioni e il punto di discontinuità

cioè$1/e<x<e$ ,$x!=0$, $0<x<=e $ mi esce $x>1/e$ il risultato del libro invece il domino della derivata è $1<x<e$

[dott.ing]

Procedi per passi, dall'interno all'esterno.

Il sistema che descrive il dominio di quella funzione è:

${(x>0,text{positività dell'argomento dei logaritmi}),(-1<=\lnx<=1,text{argomento di arcsin}),(\arcsin(\lnx)>=0,text{radicando non negativo}),(1-ln^2(x)>=0,text{radicando non negativo}):}$

A ciò dobbiamo aggiungere la condizione di non annullamento di tutto il denominatore. Questo fatto può essere espresso riscrivendo il sistema come: ${(x>0),(-1<=\lnx<=1),(\arcsin(\lnx)>0),(1-ln^2(x)>0):}$, in cui non ammetto i valori che annullano le radici.

Prova a risolvere singolarmente le disequazioni $2, 3, 4$ e scrivimi i risultati.

[onlyReferee]

Ciao alessandrof10

[...]
considerando per prima cosa il domino del arcsin(x) cioè $-1<=x<=1$ ma visto che $x$ e la funzione $log$ per questioni di domino del log il domino del $ arcsin(lnx)$ e solamente $x<=e$ ma considerando che ovviamente è sotto radice($x>0$) il domino di $sqrt(arcsin(lnx))$ sara $0<x<=e $
[...]

No, attento. il dominio di $sqrt(arcsin(lnx))$ sarà $1< x < e$. Bisogna che stai attento a valutare le varie condizioni una per una, compresa $x > 0$ (essendoci anche $\ln (x)$).

[...]
poi la $2x!=0 -> x!=0$

qui arriva la parte difficile allora considerando che $sqrt(1-ln^2(x))$ il domino sara per forza $1-ln^2(x)>0$ essendo una quantità sotto radice , poi risolvendo equazione associata mi esce che $1/e<x<e$ (ditemi se sbaglio )
[...]

Questa parte che hai fatto invece va bene così.

[...]
ma disegnando tutte le linee delle 2 disqeuazioni e il punto di discontinuità

cioè$1/e<x<e$ ,$x!=0$, $0<x<=e $ mi esce $x>1/e$ il risultato del libro invece il domino della derivata è $1<x<e$

Il risultato del libro ti posso confermare che è esatto (ho svolto l'esercizio per conto mio prima di confrontarmi con la tua soluzione e con quella del libro). Consiglio: quando hai molte condizioni da porre per determinare un dominio (come in questo caso) il cercare di determinare la soluzione il più rapidamente possibile senza scrivere il sistema con le varie condizioni passo passo può portare facilmente in errore. L'intersezione delle varie condizioni la si fa soltanto alla fine... Meglio fare sempre passaggi in più...

[alessandrof10]

grazie ragazzi della risposta allora dott. la 2-4) sono $1/e<x<e $ (la 2 con con i minori uguali) la 3) scusami per ignoranza ma le disequazioni delle funzioni trigonometriche inverse non lo mai fatte ma proviamoci

$arcsin(lnx)>0 ->$ $ln(x)> _(+-)sin(0)=0$ $-> x>1$ $x< -1 $

[dott.ing]

Non devi considerare il seno. (Non ho poi capito cosa intendi con $+-sin(0)$).

Più semplicemente, l'$arcsin$ è positivo quando il suo argomento sta in $(0,1]$: $0<\lnx<=1$, ossia $1<x<=e$.

[alessandrof10]

ho capito ho fatto il grafico finale infatti esce $1<x<e$ pero non capisco perche' il valore di $e$ non sia $<=e$ ma semplicemente minore

[dott.ing]

Perché, come hai giustamente scritto, la soluzione della quarta disequazione è $1/e<x<e$. Questo intervallo non comprende il valore $e$.

[onlyReferee]

Per la condizione di non annullamento del denominatore ti ritrovi costretto ad escludere i valori estremi...