Quesiti dalla Galileiana di Padova

[Deneb17]

Salve, guardando un po' il test di attitudine scientifica del 2012-2013, nel quale sono presenti ben 45 domande di logica e matematica (facilissime, alcune neanche lontanamente ai livelli delle olimpiadi di matematica primo livello), ho riscontrato dei quesiti che non mi sono abbastanza chiari. Spero che sia la sezione giusta per chiedere chiarimenti!
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L'insieme dei numeri razionali positivi con quadrato minore o uguale a 10
a. ha massimo e minimo.
b. ha massimo ma non minimo.
c. ha minimo ma non massimo.
d. non ha nè massimo nè minimo.

Io ho risposto la lettera d (ed è la risposta giusta), ma ho ragionato in maniera piuttosto intuitiva e grezza, pensando che avvicinandosi al 10 e allo 0 ci saranno infiniti numeri razionali, e quindi infiniti saranno anche i quadrati di numeri razionali... quello che mi chiedo io è se il ragionamento che ho seguito è corretto e come lo potrei perfezionare, seguendo un pensiero più appropriato.

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Sia $f: RR \to RR$ la funzione definita come segue:

$f(x)={(x^3,text{per ogni x razionale}),(2x,text{per ogni x irrazionale}):}$

Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
a. La funzione $f$ non è iniettiva.
b. La funzione $f$ non è suriettiva.
c. La funzione $f$ è biettiva.
d. La funzione $f$ non è ben definita.

Ho escluso a priori la d poichè non vedo alcun motivo per la quale f non è ben definita... non mi sembra ci siano errori nella definizione. Ho escluso anche la a poichè la derivata di f verrebbe sempre positiva ($3x^2$ per i numeri razionali e $2$ per i numeri irrazionali) e quindi, essendo la funzione sempre crescente si può affermare che sia iniettiva poichè ogni y è immagine di una e una sola x. (Sto sbagliando?). La risposta corretta è la b, ma io non sono riuscito a dimostrare la non suriettività della funzione, ovvero che non tutti i numeri reali sono immagini... qualcuno che mi dia una mano?
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La disuguaglianza

$||a|-|b||<=|a-b|$
è equivalente a
$ab<=|ab|$ ?

a. Sì, lo è.
b. La prima implica la seconda, non non viceversa.
c. La seconda implica la prima, ma non viceversa.
d. La seconda è vera solo se $a$ e $b$ sono entrambi positivi.

Ho escluso a priori la d poichè a maggior ragione se $a$ e $b$ sono discordi di segno $ab$ sarà un numero negativo, e quindi minore di $|ab|$ che è positivo. Poi non ho davvero saputo continuare... la risposta corretta è la a ma non ho minimamente idea di come ci si arrivi. Spero che qualcuno mi dia una mano

[axpgn]

La disuguaglianza
Affinché siano equivalenti devono dare lo stesso valore di verità quando assegniamo lo stesso valore alle variabili.
Dalla seconda possiamo dire che l'uguaglianza vale quando $a$ e $b$ hanno segno concorde, mentre la disuguaglianza è verificata quando i loro segni sono discordi; perciò questo è quello che dobbiamo verificare nella prima.
Ora, il membro di sinistra darà sempre lo stesso risultato qualsiasi segno abbiano $a$ e $b$ cioè la loro differenza quando sono positivi; quello di destra darà lo stesso risultato quando sono ambedue positivi (ovviamente) ma anche quando sono entrambi negativi (la loro distanza in valore assoluto è la stessa, cambierebbe il segno ma essendo appunto da considerare il valore assoluto non cambia niente) e questo combacia con la seconda diseguaglianza.
Se invece i loro segni sono discordi il membro di destra in valore assoluto sarà la somma dei valori assoluti di $a$ e $b$ perciò maggiore del sinistro, anche in questo caso coincidendo con la seconda diseguaglianza.

Cordialmente, Alex

[axpgn]

A riguardo della seconda invece si può notare che ogni razionale è un cubo ma non ogni razionale è cubo di un razionale; la radice cubica di $10$ non è razionale mentre la metà di $10$ è razionale quindi a $10$ con quale $x$ ci arriviamo? Nessuna, perciò $f(x)$ non è suriettiva.

Cordialmente, Alex

[Vulplasir]

Riguardo alla prima domanda: Basta ricordarsi che l'insieme dei razionali è un insieme denso, ossia in ogni intorno di $x_0$ cade almeno un punto diverso da $x_0$ appartenente all'insieme. Dunque in ogni intorno destro di $0$ e sinistro di $sqrt(10)$ cade almeno un numero razionale maggiore di $0$ e minore di $sqrt(10)$.

Riguardo alla terza domanda, basta svolgere la disuguaglianza:

$||a|-|b||<=|a-b|$

Essendo entrambi i termini due valori assoluti, sono sempre maggiori o uguali a zero, dunque se tale relazione vale tra i loro valori assoluti, vale anche tra i loro quadrati:

$(|a|-|b|)^2<=(a-b)^2$

$|a|^2+|b|^2-2|a||b|<=a^2+b^2-2ab$

Essendo $|a|^2=a^2$ e $|b|^2=b^2$ abbiamo:

$-2|a||b|<=-2ab$

$|a||b|>=ab$

ma $|a||b|=|ab|$ e la tesi è dimostrata, per dimostrare il contrario, ossia che questa relazione implica la prima, basta moltiplicare per $-2$, aggiungere due quadrati positivi ambo le parti et voilà!

[Shocker]

Buongiorno a tutti


Sarà che mi sono appena svegliato,a alcune cose non mi tornano(parlo della seconda domanda)

1)Avete controllato la derivabilità?

2)

A riguardo della seconda invece si può notare che ogni razionale è un cubo ma non ogni razionale è cubo di un razionale; la radice cubica di $10$ non è razionale mentre la metà di $10$ è razionale quindi a $10$ con quale $x$ ci arriviamo? Nessuna, perciò $f(x)$ non è suriettiva.

Non ho ben capito il tuo ragionamento.
Perché non posso calcolare $f(5)$ e $f(root(3)(10))$?

Perdonatemi se ho scritto qualche calvolata. :/
EDIT:come un pollo ho sbagliato a leggere la traccia e ho scambiato la funzione originale con questa $f(x) = {(x^3 if x in I), (2x if x in Q):}$ per cui il ragionamento di axpgn non mi tornava .
Scusate la svista .


Ciao:)