Def. punto di accumulazione

[DavideGenova]

Ciao, amici! Il Kolmogorov-Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, definisce punto di accumulazione dell'insieme $M\subset R$, dove \((R,\rho)\) è uno spazio metrico, un punto $x\in R$ tale che ogni suo intorno sferico contiene un numero infinito di punti di $M$.
Il Sernesi, Geometria 2, definisce punto di accumulazione dell'insieme $M\subset R$ un punto $x\in R$, dove $R$ è uno spazio topologico, un punto $x\in R$ tale che ogni suo intorno contiene almeno un punto di $M$ diverso da $x$.
Sapendo che a volte le definizioni non sono le stesse per autori distinti -qualcuno può ricordare questa conversazione- volevo chiedere se queste due definizioni, per spazi metrici, sono equivalenti.
A me sembra decisamente di sì perché, tenendo conto che gli intorni sferici centrati in un punto di uno spazio metrico sono un sistema fondamentali di intorni di quel punto, direi che, se ogni intorno di $x$ contiene almeno un punto di $M$ distinto da $x$, come da definizione del Sernesi, significa che in ogni intorno sferico \(O_{\varepsilon}\) esiste un punto $y_0\in M$ diverso da $x$; quindi possiamo prendere in considerazione l'intorno sferico \(B(x,\rho(x,y_0))\subset O_{\varepsilon}\) e anche in esso troveremo un punto $y_1\in M,y_1\ne x$ e, reiterando il procedimento, troveremo in ogni \(B(x,\rho(x,y_k))\) un punto $y_{k+1}\in M$ che ci permetterà di costruire una successione infinita \(\{y_k\}\) di punti distinti di $M$ contenuta in \(O_{\varepsilon}\). Viceversa se, da definizione del Kolmogorov-Fomin, ogni intorno sferico di $x$ contiene infiniti punti di $M$, non tutti coincideranno con $x$ e tale intorno sferico è pur sempre un intorno in senso topologico, per cui vale che ogni intorno di $x$ contiene almeno un punto di R diverso da x. O sbaglio?
$\infty$ grazie a tutti!

[j18eos]

Sono un pò impegnato... ti lascio "due mollichine di pane nel bosco"!

1) Non hai dimostrato di aver costruito una successione (a meno di aver letto male).
2) In uno spazio \(\displaystyle\mathrm{T}_1\), in ogni intorno di un punto di accumulazione vi sono infiniti punti distinti da esso (qui è una questione di memoria... non ti dico quanti anni fa ho sostenuto l'esame di topologia).

[DavideGenova]

Non hai dimostrato di aver costruito una successione (a meno di aver letto male).

In ogni intorno sferico \( O_{\varepsilon}(x) \) di $x$ esiste un punto $ y_0\in M $ diverso da $ x $. Prendiamo in considerazione l'intorno sferico \( B(x,\rho(x,y_0))\subset O_{\varepsilon}(x) \) e anche in esso troveremo un punto $ y_1\in M,y_1\ne x $ -distinto da $y_0$, naturalmente-. Prendiamo quindi l'intorno sferico \( B(x,\rho(x,y_1))\subset O_{\varepsilon}(x) \) e pure lì troveremo un punto $ y_2\in M$ distinto da $x$ e naturalmente da $y_0,y_1$. Reiterando il procedimento, troveremo in ogni \( B(x,\rho(x,y_k)) \) un punto $ y_{k+1}\in M $ -distinto da $x,y_0,...,y_k$- che ci permetterà di costruire una successione infinita \( \{y_k\} \) di punti distinti di $ M $ contenuta in \( O_{\varepsilon}(x)\). O do i numeri?

2) In uno spazio \( \displaystyle\mathrm{T}_1 \), in ogni intorno di un punto di accumulazione vi sono infiniti

Interessante generalizzazione! Se per assurdo così non fosse sarebbe possibile "isolare", grazie alle proprietà degli aperti, il punto di accumulazione in un intorno in cui starebbe solo lui, in contraddizione con la definizione di punto di accumulazione. E uno spazio metrico è $T_1$.
$\infty$ grazie, Armando!

[j18eos]

Eh no!, volendo spaccare il capello in \(\displaystyle8\): sia \(\displaystyle\delta\in]0,+\infty[\cup\{\infty\}\) il diametro dello spazio metrico \(\displaystyle(X,d)\), fissato un punto \(\displaystyle y_0\) siano \(\displaystyle r_1=\min\{1,\delta\}\) e \(\displaystyle y_1\in B(y_0,r_1)\setminus\{y_0\}\); poi ricorsivamente definisco:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,r_{n+1}=\min\left\{\delta,\frac{1}{n+1}\right\},\,\begin{cases}y_{n+1}\in B(y_0,r_{n+1})\setminus \{y_0,y_1,...,y_n\}\iff r_{n+1}={\displaystyle\frac{1}{n+1}}\\
y_{n+1}=y_1\iff r_{n+1}=\delta
\end{cases}.
\]

[DavideGenova]

Perdona la durezza di comprendonio: non riesco a convincermi dell'inesattezza del mio tentativo di dimostrazioncina. Dov'è l'errore? Mi sembrerebbe che, ponendo il primo raggio uguale a \(\rho(x,y_0)\), dove $x$ corrisponde al tuo $y_0$ e il mio $y_0$ corrisponde al tuo $y_1$, e poi scegliendo l'\((n+1)\)-esima volta un raggio uguale a \(\rho(x,y_n)=\min\{\rho(x,y_0),...,\rho(x,y_n)\}\leq \text{diam }R\) -dove mi pare che $X$ corrisponda al mio $R$-, di garantire anch'io che la successione stia tutta nello spazio metrico, che suppongo sia il motivo per cui poni $y_{n+1}=y_1$ finché $\delta\leq 1/(n+1)$...

[j18eos]

Scusami, avevo letto male.

[DavideGenova]

Di nulla! Anzi, ti sono iper-grato per l'appunto sugli spazi $T_1$ che generalizza molto interessantemente l'argomento...!