Test della SS di Catania

[wrugg25]

Buongiorno a tutti
In questo periodo, mi sto preparando al test per entrare alla Scuola Superiore di Catania (in verità, sono già entrato al PoliTO con 73,25/100... ma Catania mi risulterebbe molto più facile da frequentare, a causa di questioni tanto organizzative quanto geografiche)... spulciando le prove degli anni scorsi, mi sono accorto che spesso non rispondono a quelli che sono i programmi di preparazione proposti dalla stessa SSC: per esempio, per alcuni esercizi è richiesta la conoscenza dell'aritmetica modulare (che a scuola non si studia, e che la SSC non ha inserito nel programma da preparare per la prova d'ammissione) e delle sue applicazioni alla risoluzione delle equazioni diofantee (le quali, naturalmente, non figurano nel programma stilato dalla SSC)...

A tal proposito, vorrei proporvi un esercizio, tratto dalla prova del 2011:

Dimostrare che l'equazione
$ x^3 + y^3 + z^3 = 2011 $
non ha soluzioni intere.

La soluzione proposta dalla SSC si avvale delle congruenze modulo n per dimostrare che una somma di tre cubi non ha congruenze con il valore 2011.
A questo punto, mi chiedo: ci sono altri metodi di risoluzione di un esercizio del genere? Perchè, se questo è lo standard (e se dunque i test della SSC non rispecchiano i programmi dalla scuola stessa proposti), non so proprio cosa fare: non posso mica studiare tutta la matematica del mondo...

[Half95]

Guarda secondo me non devi saper per forza i moduli per fare gli esercizi con i moduli... io le prime volte in pratica li usavo senza rendermene conto!
infatti ti basta sapere che due numeri interi uguali divisi per lo stesso numero devono dare lo stesso resto! se te al test scrivi ad esempio:

se divido a destra e a sinistra per 9 devo ottenere resto 4. Un qualsiasi numero può essere espresso come $9a+k$ dove $0\leq k<9$ con $a,k$ interi. allora $(9a+K)^3$ se dividiamo per 9 questo numero che resto otteniamo? $k^3$ perché tutti gli altri sono divisibili per 9. Ora non ti rimane altro che sostituire a k i valori da 0 a 8 per vedere che resto ottieni dividendo per 9. ti accorgi che gli unici resti sono 0,1 e 8. ora sommando a piacere questi numeri e dividendo per 9 possiamo ottenere 4? no, quindi non ci sono soluzioni. Ora se tu conosci bene i moduli bastava dire che $x^3+y^3+z^3 \equiv 4mod9$ e che i residui cubici mod9 sono solo -1,0,1. E concludevi.

Se vuoi il mio parere a loro non interessa se fai nel primo modo o nel secondo. A loro interessa che ti arrangi con quello che conosci, se ti concentri un esercizio cosi lo puoi fare anche senza sapere i moduli! dopo ovviamente se li sai usare ci metti la metà anche perché un esercizio così li chiama

[wrugg25]

Ti ringrazio per la risposta Avrei solo alcuni chiarimenti da chiedere:

se divido a destra e a sinistra per 9 devo ottenere resto 4.

Perchè?

Ora non ti rimane altro che sostituire a k i valori da 0 a 8 per vedere che resto ottieni dividendo per 9. ti accorgi che gli unici resti sono 0,1 e 8. ora sommando a piacere questi numeri e dividendo per 9 possiamo ottenere 4? no, quindi non ci sono soluzioni.

Non ho capito neanche questa parte... ma forse la capirò una volta chiarito il primo punto...

[Half95]

ok allora punto 1:

stiamo parlando di interi quindi se dividiamo 27 per 9 otteniamo 3 con resto 0.
Se invece abbiamo 30 e lo dividiamo per 9 otteniamo resto 3. Un po' come alle elementari quando non conoscevi le frazioni.
Ora ti faccio un primo esempio semplice: x+y=30
se dividiamo 30 per 9 come prima otteniamo resto 3, ma allora anche dividendo x+y per 9 otteniamo resto tre, perché x+y è 30! non so se mi spiego? ora se vuoi scriverlo come modulo si dice che $x+y \equiv 3 mod9$.

il punto 2:

abbiamo $x^3$ lo dividiamo per 9 e magicamente può dare solo tre resti: 0,1,8. Lo stesso vale per $y^3$ e $z^3$. quindi devi dire che il resto di $r_x+r_y+r_z$ ($r_x$ intendo resto che otteniamo dividendo $x^3$ per 9 ecc..) diviso 9 deve essere uguale a 4.. ma non è possibile se provi i casi te ne accorgi

[wrugg25]

Grazie di nuovo per le spiegazioni

Allora, vediamo se ho capito:

Data l'equazione in esame, si ha che:

$ 2011/9 = 223 + 4/9 $

Dunque deve essere anche:

$ (x^3+y^3+z^3)/9 = 223 + 4/9 $

Ma uno qualunque dei tre cubi, diviso per 9, riporta come resto 0,1 o 8, e non c'è dunque modo di avere:

$ r_x + r_y + r_z = 4 $

Per cui, si deve concludere che l'equazione non ha soluzioni intere.


Giusto?

A questo punto, ho solo un quesito: il fatto che la divisione tra un cubo e 9 riporti come resto sempre e solo 0,1, o 8 si determina in qualche modo?


PS: approfitto per rispondere ad una domanda che mi avevi posto prima: io non ho mai studiato i moduli

[Half95]

Ma uno qualunque dei tre cubi, diviso per 9, riporta come resto 0,1 o 8, e non c'è dunque modo di avere:

$ r_x + r_y + r_z = 4 $

Per cui, si deve concludere che l'equazione non ha soluzioni intere.

allora si è giusto l unica cosa che magari non ho spiegato bene che anche qui si parla di resti quindi ad esempio se $r_x=8$ $r_y=1$ $r_z=1$ allora sarebbe
$ r_x + r_y + r_z \equiv 1mod9 $

A questo punto, ho solo un quesito: il fatto che la divisione tra un cubo e 9 riporti come resto sempre e solo 0,1, o 8 si determina in qualche modo?


PS: approfitto per rispondere ad una domanda che mi avevi posto prima: io non ho mai studiato i moduli

sisi determinarlo è facilissimo per spiegarti ti faccio un esempio:

se abbiamo $x^2$ e vogliamo sapere che resto ci dà se lo dividiamo per 4, ci basta fare 4 casi:
1) $x=4x_1$ il resto ovviamente sarà 0. se lo eleviamo al quadrato il resto rimane 0
2) $x=4x_1+1$ il resto sarà 1.se lo eleviamo al quadrato il resto rimane 1
3) $x=4x_1+2$ il resto è 2. se lo eleviamo al quadrato otteniamo $x=4x_1^2+16x_1+4$ il resto è 0!!
4) $x=4x_1+3$ il resto è 3. se lo eleviamo al quadrato otteniamo $x=4x_1^2+24x_1+9$ il resto è1!!
si dice quindi che i resti quadratici modulo 4 possono essere solo o e1.
ora ogni numero ha i suoi residui quadratici, e quindi bisogna trovare ogni volta il numero giusto per cui dividere
per i cubi si procede allo stesso modo

per vedere se hai capito prova a fare questo: $x^2+y^2=223$
e poi questo $x^2+y^2+z^2=22223$ scegli con attenzione per cosa dividere

[wrugg25]

Perfino degli ulteriori esercizi... dire che sei gentile non rende giustizia a tutto quello che stai facendo per aiutarmi
Ecco come ho risolto i due esercizi:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ x^2+y^2=223 $
$ (x^2+y^2)/4 = 55 +3/4 $
Visto che i resti quadratici di modulo 4 sono solo 0 e 1, l'equazione considerata non ha soluzioni intere, perchè non esistono valori che verifichino l'uguaglianza:
$ r_x+r_y =3 $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ x^2+y^2+z^2 = 22223 $

Qui, visto che si tratta sempre di quadrati, ho diviso di nuovo per 4:

$ (x^2+y^2+z^2)/4 = 5555 + 3/4 $

L'equazione considerata ammette soluzioni, perchè l'equazione dei resti

$ r_x+r_y+r_z =3 $

Può essere verificata se i valori x, y e z sono nella forma:

$ x = 4a+1 $
$ y = 4b+1 $
$ z = 4c+1 $

Detti a, b e c dei generici valori interi.

A questo punto, però, ho delle curiosità:
- La scelta dei divisori va fatta in base a dei criteri specifici? Per esempio, nell'esercizio con i cubi, la divisione andava fatta per 9 (= 3*3), mentre nei quadrati pare essere agevole farla per 4 (=2*2)... dunque, per esempio, con le potenze quinte potrebbe convenire dividere per 25 (=5*5)?
- Quanti "casi" occorrono, per definire tutti i possibili resti? Ne occorrono, come nella mia ipotesi della domanda prima, 4 per i quadrati, 9 per i cubi, 25 per le potenze quinte e così discorrendo?

[Half95]

allora il primo esercizio è giusto il secondo però no! o almeno non è finito! e qui arriviamo alla tua domanda, come si fa a scegliere il divisore? non c' è un modo per saperlo, devi vedere che incognite hai a cosa sono elevate e che numeri interi si presentano nell' espressione: diciamo che dopo un po' ti fai l' occhio Inoltre ti posso dire che se ci sono quadrati puoi provare di solito 4 e 8 (e infatti prova a dividere per 8 il secondo esercizio e vedi cosa ti viene) e non funziona come dici te:) per le potenze 5 hai 11

[wrugg25]

Quindi il secondo non va ancora bene... cosa manca?

[Half95]

Quindi il secondo non va ancora bene... cosa manca?

che ti sei fermato dovresti trovare dei valori per x y e z se ci sono infatti invece che usare 4 dividi per 8 e capirai