Voi come li avreste fatti? Esistono tecniche più standard di quelle che uso? Mostro le mie soluzioni, che usano sostanzialmente sempre la stessa tecnica, che spero sia corretta. L'ultimo punto in realtà mi sembra abbia il testo sbagliato sulla mia edizione....
Dimostrare che:
(a) $x^2+x+1$ è irribucibile su $F_2$, il campo degli interi mod 2.
Sol: supponiamo che per assurdo $x^2+x+1=p(x)=(ax+b)*(cx+d) [1]$, con $a,c$ diversi da 0. Questo sarebbe possibile se il polinomio fosse riducibile. Consideriamo la funzione polinomiale: $f: F_2 \rightarrow F_2 , x \rightarrow p(x)$. L'uguaglianza tra polinomi $[1]$ implica che $f$ ha uno zero (pari a $a^{-1}b$). D'altronde $f(1)=f(0)=1$, quindi la scomposizione non è possibile.
(b) $x^2+1$ è irriducibile su $F_7$.
Sol: Analogamente a prima è condizione necessaria è che esista una soluzione al problema $x^2=-1$ in $F_7$. Questo però significa che $x^6=(x^2)^3=-1$, ma il piccolo teorema di Fermat ci dice che $x^6=1$ per ogni $x$ diverso da $0$. L'unica possibilità quindi è che $x=0$, che però non è soluzione.
(c) $x^3-9$ non è riducibile su $F_{31}$.
Sol: se fosse $x^3-9=(ax+b)(cx^2+dx+e)$, esisterebbe come al solito un $x$ t.c. $x^3=9$ modulo $31$. Ma allora per Fermat per $x$ diverso da 0 (0 non è soluzione )$1=x^30=(x^3)^{10}=9^10$. Ora un calcolo diretto che si può svolgere a mano ci porta a dire che $9^{10}=5$ modulo 31. Quindi non esistono soluzioni e il polinomio è irriducibile su $F_31$.
(d) $x^3-9$ non è riducibile su $F_{11}$.
Sol: io trovo una soluzione mi pare: $x^{3}-9=(x+4)(x^2+7x+5)$, che mostra che il polinomio è riducibile, mi pare in contraddizione con il testo?.
Volevo aggiungere un punto che mi pare di avere dimostrato cercando di risolvere il punto (d). Volevo chiedervi se è scontato (io ho dovuto fare i conti, sempre che non li abbia sbagliati). Non essendo nel libro lo propongo qui come esercizio:
(BONUS) dimostrare che il polinomio $x^3-9$ è riducibile su $F_p$ con $p$ primo se e solo se esiste un $x$ t.c. $x^3=9$ modulo $p$.
Sostanzialmente che la condizione sia necessaria è stato usato varie volte e mi sembra corretto. Il fatto che sia anche sufficiente mi pare che debba essere verificato e non credo sia vero per un generico polinomio.
Qualsiasi commento è benvenuto, vorrei solo capire se mi sto muovendo bene
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.. Fammi sapere se ti vengono in mente dimostrazioni alternative... il libro non fa alcun esempio su questo quindi non conosco quali siano i metodi standard di soluzione...