Esercizio sui gruppi.

[tranesend]

Non riesco a risolvere questo esercizio che è capitato ad un esame passato sui gruppi.

Siano $G$ e $G'$ due gruppi finiti. Dimostrare che se esiste un omomorfismo $phi: G -> G'$ non banale (ovvero tale che $ker(phi) != G$), allora $mcd(|G|,|G'|) != 1$. E' vero il viceversa? Se si dimostrarlo. Altrimenti dare un controesempio.

[vict85]

Che ragionamento hai fatto? Ragiona sul gruppo di permutazioni.

[Thomas]

Non basta applicare il primo teorema teorema di omomorfismo e Lagrange per dedurre che ${o(G)}/{o(Ker \phi)} | o(G')$ e concludere?

Il viceversa anche mi sembra si vede facilmente che non può essere vero, basta prendere due gruppi $G$ e $G'$ dello stesso ordine, con $G$ semplice, di modo che non esistano omomorfisimi non banali, ma il $m.c.d$ tra i due ordini è maggiore di uno.

C'è qualche errore in questi ragionamenti che ora non vedo? Come si può fare vict85 con le permutazioni?

[tranesend]

Ok sono d'accordo con te Thomas. Ma una volta detto che $(o(G/ker(f)) | o(G')$ per il teorema di Lagrange. Come deduco che o(G) non divide o(G')? Cioè a questo ero arrivato anche io piu o meno ma non so come fare la conclusione cioè il passo finale per la dimostrazione effettiva.

[Thomas]

Mi sembra che tu debba dimostrare che $mcd(|G|,|G'|)>1$, ovvero che i due ordini hanno qualche fattore primo in comune e non che $|G|$ non divide $|G'|$.

[vict85]

Era solo un controesempio che mi era venuto in mente. Riguardo al teorema basta usare il fatto che l'immagine di un omomorfismo è un sottogruppo.