Relatività speciale: componente di un evento ortogonale alla velocità relativa tra due sistemi di riferimento

[newton_1372]

Perchè in relatività speciale la componente di un evento ortogonale alla velocità relativa tra due sistemi di riferimento deve rimanere invariata?

[navigatore]

Spero che non ti risenta, se faccio prima una piccola correzione alla tua domanda : non si tratta della "componente di un evento ortogonale alla velocità relativa" che rimane invariata. Un evento non ha una componente ortogonale alla velocità relativa.

Si tratta delle misure delle coordinate in direzione ortogonale alla direzione del moto relativo tra due sistemi, che rimangono invariate. Considera due sistemi di coordinate $S(xyz)$ ed $S'(x'y'z')$ in configurazione standard, cioè in moto relativo lungo gli assi sovrapposti $x = x'$ . I piani $yz$ e $y'z'$ rimangono paralleli durante il moto.

Prendi allora un'asta che a riposo abbia una data lunghezza, e mettila in quiete nel sistema $S'$ perpendicolarmente alla direzione del moto, quindi parallela ai piani trasversali detti. Il sistema $S'$ è in moto con velocità $v$ rispetto a $S$ .
Nel sistema di quiete $S'$ l'asta misura $H'$ . Se la misuri da $S$, e supponi che ci sia una riduzione della misura, dovresti avere che la misura fatta da $S$ vale :

$H = k H'$

ma ora la stessa asta mettila in quiete in $S$, e misurala da $S'$ . Per il principio di relatività dovresti avere che :

$H' = k H$

e il coefficiente k deve essere lo stesso , perché deve valere il principio detto: i due sistemi inerziali devono essere equivalenti.

Percio devi avere che : $H = k*k*H = k^2 H $ , da cui : $ k^2 = +- 1 $

Ma quando la velocità è uguale a zero, si ha sicuramente $k = + 1$ .
Perciò, per continuità, non può che essere $k= + 1$ a tutte le velocità .

Nei buoni testi di RR la dimostrazione è più accurata, ma sostanzialmente la stessa.
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Colgo l'occasione che mi hai dato, per fare una precisazione.

È stato citato da poco un libro : " La Relatività con le 4 operazioni" , che è molto vecchio, di Clement Durrell. Tale libro è leggibile in rete, in inglese , il titolo è "Readable Relativity" si trova facilmente. Se vuoi puoi leggere tutto il libro on line, ma puoi anche scaricarlo in pdf .

Nel 2 capitolo l'autore vuole far riflettere sul fatto che la natura può sembrare ingannevole, e farci sbagliare. Ma non è ingannevole!

E per fare ciò egli parla del mondo di una ragazza , "Alice che si specchia in uno specchio convesso" ; Alice nota la sua immagine nello specchio convesso, che noi sappiamo essere contratta trasversalmente (perché conosciamo le leggi dell'ottica) e man mano che si allontana l'immagine si contrae sempre di più. Questa è la pagina,

https://archive.org/stream/ReadableRela ... 1/mode/1up

c'è anche un esercizio sullo specchio convesso alla fine del capitolo.

Però questa contrazione che Alice vede nello specchio, e che non può misurare perché pure il metro si contrae, è una proprietà della immagine riflessa, non è una contrazione della materia !

Questo però non ha niente a che vedere con la Relatività. Di Relatività l'autore parlerà ampiamente nei capitoli seguenti, introducendo l'esperimento di Michelson Morley e ….tutto quanto ne consegue, nella maniera più ortodossa possibile. E naturalmente dimostra che c'è la contrazione delle lunghezze nella direzione del moto, non in senso trasversale al moto. Questo termine "contrazione" è molto infelice, perché fa pensare alla materia che si schiaccia nel senso della lunghezza (questa era l'idea di Lorentz) . E invece è una proprietà dello spaziotempo, come la sua duale relativa al rallentamento degli orologi in moto. Sarebbe meglio parlare di "riduzione delle misure lungitudinali" , e però bisogna stare attenti , perché anche il metro che ci si porta dietro subisce la stessa riduzione : in effetti, tale riduzione la si misura da un altro riferimento, cioè dal riferimento in cui l'asta è vista muoversi in direzione della sua lunghezza, non nel riferimento proprio dell'asta, nella quale essa è in quiete.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ecco, ho desiderato chiarire questo, pacificamente e senza spirito polemico, alla persona che ha citato Durrell, se legge, alla quale chiedo ancora scusa di tutto.

[newton_1372]

Più che altro volevo sapere, una volta dimostrata, in base alle ipotesi che vengono fatte, la forma delle trasformazioni di Lorentz nel caso in cui la velocità relativa ecdiretta lungo x, come faccio a generalizzare? Cioè al caso in cui v ha direzione qualunque

[DelCrossB]

\[\left\{ \begin{array}{l}
t' = \gamma(t-\frac{1}{c^2}\vec{v}\cdot\vec{r}) \\
\vec{r}' = \vec{r}_{\perp}+\gamma(\vec{r}_{\parallel}-\vec{v}t)
\end{array} \right.\]

Dove abbiamo scomposto il generico vettore posizione in una parte parallela alla velocità relativa fra i due sdr ed una ortogonale:
$$\vec{r} = \vec{r}_{\perp}+\vec{r}_{\parallel}$$

[newton_1372]

Questo è proprio il passaggio che dovrei giustificare: perchè posso scomporre il vettore "evento" in questo modo, trasformare la componente parallela con "il caso precedente" e lasciare invariata la componente ortogonale?

[DelCrossB]

Per amore della notazione, quello che scomponiamo non è un evento nella sua interezza, ma la sola parte spaziale del quadrivettore evento: $(ct,\vec{r})$. Non credo vi sia bisogno di giustificare la scomposizione e per quanto riguarda la conservazione delle dimensioni trasversali al moto, navigatore ti ha risposto in maniera soddisfacente, credo.

Pensaci un po', perché non potresti scrivere un qualsiasi vettore come la somma di altri due?

[newton_1372]

Esprimo meglio le mie perplessità (dopo tutto, siamo in democrazia!)
Io potrei ragionare così nel caso generale:

ho due sistemi di riferimento che viaggiano in moto relativo $\vec v$. Finora non ho specificato alcuna orientazione degli assi. dei due sistemi. Scelgo l'orientazione dei due sistemi in modo che i due assi x e x' siano paralleli alla velocità relativa $\vec v$, e da lì applico le trasformazioni di lorentz, accorgendomi che y,z rimangono invariati. Per ottenere l'espressione della legge di trasformazione rispetto a due assi orientati in modo diverso rispetto alla velocità relativa, basta che faccio una rotazione. La trasformazione "totale" sarebbe $\Gamma = L_0 R_0$: con R_0 ruoto il vettore in modo da portarlo in un sistema di riferimento con gli assi paralleli alla velocità relativa, dopodichè applico il boost puro L_0.
In questo modo in teoria dovrei "riottenere" la formula generale citata 4 post fa citata da DelCrossB.

Adesso veniamo al mio dubbio: ora che ho scoperto che "cambiare sistema di riferimento" porta a trasformazioni non banali del vettore che sto considerando, può sorgermi il dubbio se sia legittimo combinare brutalmente rotazioni spaziali e boost in questo modo...tanto per fare un esempio, se prima faccio il boost e poi ruoto non ottengo la stessa cosa rispetto a fare prima la rotazione e poi il boost...a questo punto perchè non posso aspettarmi che le leggi di trasformazione nel caso generale siano ancora piu complesse?

C'è anche da dire che si usa uno strano "prodotto scalare" per indicare le proiezioni del vettore...ma allora quale prodotto scalare stiamo usando, quello canonico di R4 o quello di Minkowskij?

[navigatore]

Ce l'hai il libro di V. Barone "Realtività" ? SE non ce l'hai, cercalo in qualche biblioteca.

Io ho delle fotocopie parziali dove mi hanno tagliato i numeri delle pagine, però posso indicarti i paragrafi. Nel parag. 3.5 , verso la fine, Barone dice che :
"le trasformazioni di L. lungo uno stesso asse formano un gruppo, invece l'insieme complessivo dei boost lungo direzioni arbitrarie non costituisce un gruppo, perché non è chiuso rispetto all'operazione di composizione. Invece le TL generali omogenee, che inglobano boost e rotazioni, formano il gruppo di Lorentz. Così pure, formano il gruppo di Poincarè le TL generali non omogenee"

Nel testo sono indicati vari riferimenti a formule dimostrate nel parag. 2.6 , dalla 2.62 alla 2.72 . In questo paragrafo precisa che si possono invertire le rotazioni con i boost. Dovrebbe trattarsi di rotazioni ordinarie, non iperboliche. Ci sono pure le formule di scomposizione vettoriale su cui hai dubbi.
Ne riparla poi nei paragrafi 5.1 e 5.6 .
Il prodotto scalare qui non è quello pseudo euclideo che si esegue trattando i 4-vettori.

[newton_1372]

Non posso invertire boost e rotazioni! Per un semplice motivo, L è simmetrica e R_0 essendo una rotazione NO. Non c'è alcun motivo perchè le due matrici L e R debbano commutare.

Comunque volevo sapere le assunzioni dietro quella generalizzazione col prodotto scalare: prima ruoto il sistema di riferimento e poi allungo; perchè questa è un operazione legittima? Cosa mi assicura che, ruotando le coordinate spaziali non succeda qualche altra diavoleria? (Che so, rette che diventano cerchi o corpi che si bucherellano al punto da non essere integrabili neanche secondo Lebesgue...ovviamente scherzo, ma il concetto della domanda è quella)

Cioè se devo cominciare a "diffidare" di qualunque cambio di coordinate, perchè in moto relativo, allora diffidiamo per bene...mi sto muovendo e nel frattempo ruoto gli assi spaziali...mi sembra tutto fuorchè banale che il vettore trasformato sia indipendente dall'orientazione degli assi

[navigatore]

Non posso invertire boost e rotazioni! Per un semplice motivo, L è simmetrica e R_0 essendo una rotazione NO. Non c'è alcun motivo perchè le due matrici L e R debbano commutare.

Se vuoi scannerizzo le pagine di V.Barone e le posto. Lui dice di sí:

"Facendo cadere l' ipotesi di parallelismo degli assi si ottengono le più generali TL omogenee che combinano un boost del tipo [2.68] e una rotazione rappresentata da una matrice ortogonale $R(vec\Theta)$ (il modulo di $vec\Theta$ è l'angolo di rotazione, mentre il versore associato a $vec\Theta$ individua l'asse di rotazione.
La loro forma è ……(equazione che non scrivo) .
Qui abbiamo effettuato prima la rotazione $R(vec\Theta)$, poi il boost $B(vecv)$ . Avremmo potuto ottenere la stessa trasformazione di L. invertendo l'ordine delle operazioni, cioè effettuando prima un boost $B(vecv')$ e poi una rotazione $R(vec\Theta')$ . Si noti che in generale : $vecv' \ne vecv $ e $vecTheta' \ne vec\Theta$ "

Tu come interpreti queste frasi? Forse io non ho capito bene. Forse i risultati non sono uguali. Dimmi che ne pensi.

Comunque volevo sapere le assunzioni dietro quella generalizzazione col prodotto scalare: prima ruoto il sistema di riferimento e poi allungo; perchè questa è un operazione legittima? Cosa mi assicura che, ruotando le coordinate spaziali non succeda qualche altra diavoleria? (Che so, rette che diventano cerchi o corpi che si bucherellano al punto da non essere integrabili neanche secondo Lebesgue...ovviamente scherzo, ma il concetto della domanda è quella)

Cioè se devo cominciare a "diffidare" di qualunque cambio di coordinate, perchè in moto relativo, allora diffidiamo per bene...mi sto muovendo e nel frattempo ruoto gli assi spaziali...mi sembra tutto fuorchè banale che il vettore trasformato sia indipendente dall'orientazione degli assi

Credo anch'io che il vettore trasformato non sia indipendente dalla successione dei boost. Se faccio un boost nella direzione x , seguito da un boost nella direzione y , non ottengo lo stesso risultato facendo prima il boost lungo y e poi lungo x . I boost lungo assi perpendicolari non formano gruppo. Anzi, dice sempre il nostro : "L'insieme complessivo dei boost lungo direzioni arbitrarie non costituisce un gruppo, infatti non è chiuso rispetto alla legge di composizione" .

Almeno, io l'ho capita così . Vediamo se Hamilton ci illumina !