Risoluzione derivata prima(disequazione)

[Michele.c93]

$ log(e^x+1)-1/2+((e^x*x)/(e^x-1))>0 $ Ragazzi mi aiutereste a risolverla?

[ciampax]

Da cosa viene fuori questa disequazione?

[Michele.c93]

E' la derivata di questa funzione $ x(log(e^x+1)-1/2) $
Forse devo risolverla qualitativamente?

[ciampax]

Mmmm, sai che è una brutta bestia? Ci ho provato ma ci sono troppe considerazioni da fare, anche volendone studiare un comportamento qualitativo. Ma devi fare lo studio di funzione o hai qualche richiesta particolare?

[Michele.c93]

Studio di funzione

[ciampax]

Allora, vediamo cosa viene fuori. Indico con $g(x)$ la derivata della funzione: vediamo che
$$\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} g(x)=0$$
Ora calcolo la derivata di $g$: dopo qualche conto posso scriverla come
$$g'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}\cdot(x+2+2e^x)$$
Dal momento che la frazione è sempre definita e positiva, osserviamo che $g'>0$ se e solo se $x+2+2e^x>0$, cosa che possiamo riscrivere come $e^x> -{x}/2-1$. Disegnando in un piano cartesiano le curve $e^x$ e $-{x}/2-1$ osserviamo che la curva esponenziale si trova sopra la retta a partire da un certo punto $\alpha<0$. Osserva pure che in tale punto
$$e^\alpha=-\frac{\alpha}{2}-1$$
e pertanto la funzione assume in esso il valore $g(\alpha)=\log(-\alpha/2)+3/2+\alpha$. Nota pure che in tale punto si annulla $g'=f''$, per cui esso è un flesso dove la funzione di partenza vale $f(\alpha)=\alpha(\log(-\alpha/2)-1/2)<0$. Ritornando allo studio del segno di $g$, possiamo concludere che
$$g'>0\ \Leftrightarrow\ x>\alpha,\qquad g'<0\ \Leftrightarrow\ x<\alpha$$
per cui $\alpha$ è un minimo di $g$. Osserva che allora deve essere $g(\alpha)<0$ visto che il limite a meno infinito è zero. Inoltre facendo un paio di prove possiamo anche affermare che $\alpha\in(-3,-2)$ (sostituisci tali valori in $g$ e vedrai che c'è un cambio di segno).

Questo porta a concludere che ci sarà un punto $\beta>\alpha$ in cui la funzione $g$ si annulla (dal momento che dal punto di minimo $\alpha$ cresce a più infinito). Tale punto inoltre possiamo considerarlo $<0$ in quanto $g(0)=\log 2-1/2>0$. Per cui abbiamo trovato un punto $\beta\in(\alpha,0)$ dove la derivata della funzione $f$ si annulla e per il quale si ha un minimo per la funzione $f$, dal momento che $g>0$ per $x>\beta$ e $g<0$ per $x<\beta$. Tale punto $\beta$, inoltre, si deve trovare, per forza di cose tra i due punti di intersezione $x=\sqrt{e}-1$ e $x=0$ della funzione $f$ con l'asse delle ascisse, per cui $\beta\in(\sqrt{e}-1,0)$. Ovviamente $f(\beta)<0$ (ma quanto valga approssimativamente è impossibile, almeno così, dirlo).

Spero sia chiaro.