Base autospazio

[Shika93]

Ho un problema con questa matrice

$A=((1,0,0),(0,2,0),(2,k+1,2))$
e posto k=1 devo trovare le basi per ciascun autospazio.

So che gli autovettori sono
$\lambda_1=1, \mu(1)=1, \nu(1)=1$
$\lambda_2=2, \mu(2)=2, \nu(2)=\{(2, if k=-1),(1, if k!=-1):}$

quindi io farei: $A*\lambda_1(v)=O_{\RR^3}=((1,0,0),(0,2,0),(2,2,2))*((x),(y),(z))$
ma mi viene (0,0,0) con tutti e due gli autovalori quando nella soluzione mi trova due basi distinte.

Cosa sbaglio?

[ciampax]

Gli autovalori sono corretti. per gli autospazi si ha
$$V_1:\ y=0,\ 2x+(k+1)y+z=0\ \Rightarrow\ (\alpha,0,-2\alpha)\ \Rightarrow\ V_1=<(1,0,-2)>,\ \dim V_1=1$$
$$V_2:\ -x=0,\ 2x+(k+1)y=0\ \Rightarrow\ \left\{\begin{array}{lcl}
(0,0,\alpha) & & k\ne -1\\
(0,\alpha,\beta) & & k=-1
\end{array}\right.\ \Rightarrow\\ V_2=\left\{\begin{array}{lcl}
<(0,0,1)> & & k\ne -1\\
<(0,1,0),\ (0,0,1)> & & k=-1
\end{array}\right.,\ \dim V_2=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & k\ne -1\\
2 & & k=-1
\end{array}\right.$$
La matrice pertanto si diagonalizza solo per $k=-1$

[Shika93]

Non ho capito come sei arrivato a scrivere le equazioni.

[ciampax]

Prendi la matrice caratteristica (quella per il calcolo del polinomio) e sostituisci gli autovalori, per avere i coefficienti delle incognite. Ho l'impressione che ti manchi qualche nozione teorica, o sbaglio?

[Shika93]

Eh non si fa $A*\lambda(v)=O_{\RR^3}$ dove $\lambda$ sono gli autovalori e $v$ un vettore qualunque $((x),(y),(z))$ con un numero di elementi pari alla dimensione della matrice e poi risolvere il sistema che viene fuori?

[ciampax]

No: il sistema per trovare gli autovettori viene fuori da $Av=\lambda v$. Effettivamente, ti mancano le basi teoriche, come supponevo. Risolvere $Av=0$ ti permette d determinare il nucleo.

[Shika93]

Noi li abbiamo sempre definiti così...
Considero l'autovalore $\lambda$ generico:
$V_{\lambda}={v\in\RR^3|L(v)=\lambdav}={((x),(y),(z))\in\RR^3|(A-\lambdaI_3)((x),(y),(z))=0_{\RR^3}}=ker(A-\lambdaI_3)$

Quindi troviamo la dimensione del sottospazio $V_1$ come $dim\RR^3-rnk(A-I_3)$ e poi risolviamo il sistema che viene fuori da $(A-I_3)((x),(y),(z))$.
Per trovare la base normalmente diamo un valore alle variabili e in base ai risultati del sistema viene una base del sottospazio.
Il sottospazio, essendo di fatto autovettori associati ad un autovalore è chiamato autospazio.

Che abbia capito male io?

[ciampax]

Ti sei scordato la $\lambda$ ad un certo punto. E risolvere il sistema $Av=\lambda v$ equivale a risolvere $(A-\lambda I)v=0$, cioè quello che ho fatto io. Hai capito bene, ma hai applicato malissimo.

[Shika93]

Ok era giusto da capire se facevo il procedimento giusto o no perchè negli altri esercizi tornava sempre. Rifaccio. Grazie mille