Più si avvicina l'esame più i dubbi aumentano!Help me!
1) Ho un dubbio su questo esercizio, il mio professore ha scritto:
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sen 1/h $ Studiando tale limite, il limite tende a 0 per a-1>0 (a>1), mentre per a=1 e a-1<0 (a<1) il limite non esiste. Ma com'è possibile Mi sembra proprio strano!
2) Altro limite che non mi torna è il seguente.. $ lim_(x -> 0+) ax^(a-1) sen(1/x) - x^(a-2) cos(1/x) $ Studiando il limite risulta che per a>2 il limite tende a 0, mentre per 1<a<=2 e per a<=1 non esiste!
3) Un esercizio che invece non so proprio come svolgere è il seguente:
$ f(x)= e^(-x)+x-e $ Le richieste sono: a) Quante soluzioni ha f(x)=0? b) Qual è il più ampio intervallo contente x=1 su cui f è invertibile?
4) Cosa significa dire che quando la derivata è costante la funzione è monotona? Forse che mantiene lo stesso andamento? (sempre crescente, sempre decrescente)
5) Il prof ha riportato come esempio di punto angoloso in x=0 la seguente funzione.
$ y=(1-cosx)^(1/2) $ Ma a me risulta un punto di non derivabilità ma mi verrebbe un punto di flesso a tangente verticale..
6) E' giusto dire che questo limite tende a 0 per confronto tra infiniti???
$ lim_(x -> +-oo) e^(-|x|) (x^2-5x+6)^(1/2)=0 $
7) Quando c'è il modulo in una funzione da studiare c'è sempre un punto angoloso in corrispondenza di quel punto? So che bisognerebbe verificarlo ma in linea teorica si può giungere a tale conclusione?
Ad esempio una funzione che contiene |x| ha punto angoloso in x=0 mentre una funzione che contiene |x-2| ha punto angoloso in x=2.
8) Cosa si intende per prolungare una funzione per continuità?
9)
$ lim_(x -> +oo) b/n logn=0 $ non è una forma di indecisione oo*0 oppure il limite si risolve per confronto tra infiniti.. nel senso il confronto tra infiniti vale anche nel prodotto tra infiniti e non solo nel quoziente?
10) $ int_(0)^(2) |(x-1)(x+3)| dx = int_(0)^(1) (1-x)(x+3) dx + int_(1)^(2) (x-1)(x+3) dx $ perchè nell'intervallo tra 0 e 1 ci mette il -?
11) Se $ a~b...e^a~e^b $ questo dubbio riguarda la relazione di asintotico...
secondo me tale relazione $ a~b...e^a~e^b $ risulta vera invece il libro dice che è falsa...perchè?
12) Considerando la successione.. $ lim_(x -> +oo) 1/7n^0=1 $ ma infinito alla 0 non è una forma di indecisione? Il prof perchè in certi casi dà per scontato che faccia 1, in altri casi invece si preoccupa di risolvere la forma di indecisione?
13) $ lim_(x -> +oo) n^(1/n)=e^(1/nlogn)=e^(0*oo)= e^0=1 $ ma infinito*0 non è forma di indecisione?
14) Com'è possibile che in alcuni limiti per x che tende a oo si usano gli sviluppi di taylor-maclaurin centrati in x che tende a 0? Non sarebbe una cosa incongrua?
15) Dubbio IMPORTANTE (grazie al quale non ho passato analisi lo scorso appello).. I limiti notevoli per x che tende a 0 o le stime asintotiche per x che tende a 0 perchè vengono usate anche nei limiti per x che tende a oo.. Riporto un esempio del libro che a me suona strano perchè usa una stima asintotica per x tendente a 0 mentre il limite tende a oo. E non ce ne sono altri 3 in cui usa, a mio parere, stime che non potrebbe utilizzare.
$ lim_(x ->+oo) n(e^(1/(7n^2+1)^(1/2)))~n/(7n^2-1)^(1/2)=1/7^(1/2) $
16) Determinare continuità e derivabilità in x=0
$ { ( x^a sen1/x per x>0 ),( b-1 per x<=0 ):} $
A me la continuità ad esempio viene per b=1 e per b=2(a>1 e a=1 rispettivamente) mentre al prof la continuità viene per a>0 b=1... e per la derivabilità come procedo?
17) Non ho ancora ben capito... come si ricavano i punti di non derivabilità... in alcuni es. pone a volte la funzione f(x)=0 o a volte la derivata f'(x)=0 e considera i punti dove funzione e derivata si annullano come punti di non derivabilità. Io invece considero punti di non derivabilità i punti agli estremi del dominio (condizione di esistenza) della derivata prima. Qual è la strada giusta da seguire?
Spero non vi abbia annoiato con tutti i miei dubbi(sono davvero tanti eh!). Grazie mille in anticipo per le risposte!
