Problema elettrostatica nel vuoto

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ciao a tutti ,

ho problemi nella risoluzione di questo esercizio https://www.dropbox.com/s/em4d1m0v18686k6/1.23.png. In particolare, non capisco come mai la risoluzione dell'esercizio sul libro parli dell'equivalenza tra la configurazione di carica del problema e quella di una sfera di centro O1 e raggio R1 uniformemente carica con densità volumetrica ρ cui si sovrappone una sfera con centro in O2 e densità volumetrica -ρ. Grazie

[RenzoDF]

Semplicemente perché, grazie alla linearita del "mezzo", è applicabile la sovrapposizione degli effetti e quindi è possibile scomporre il problema complesso in due sottoproblemi più semplici.
Il campo elettrico sarà poi dato in ogni punto dalla somma vettoriale dei due campi elettrici parziali.

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Edit: visto che non lo fai tu, posto io l'immagine

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ciao, grazie per la risposta

hai ragione, concordo con tutto.. ho una domanda: come mai si considera proprio tale configurazione equivalente? Cosa succede alle densità di carica volumetrica? grazie:)

[RenzoDF]

Cerco di spiegartelo con un disegno qualitativo, se sovrapponiamo una sfera S1 carica con densità $+\rho$ (rossa) ad una sfera S2 carica con densità $-\rho$ (blu), è chiaro che lo spazio interno alla sola sfera rossa, avrà ancora densità totale pari a $+\rho$, mentre quello interno alla sfera blu (contemporaneamente interno anche alla rossa) avrà densità pari alla somma delle due, ovvero $+\rho+(-\rho)=0$ e quindi le due sfere "sovrapposte" equivarranno alla sfera con il buco.
Questa equivalenza, come ti dicevo è utile per semplificare il problema, ovvero per ridurlo a due configurazioni molto più facilmente analizzabili.

fig.1

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A questo punto, scelto un generico punto P e determinati via Gauss i campi componenti E1 e E2 relativi a quelle frazioni sferiche di carica associate al punto P stesso (sfere interne ai tratteggi), avremo che in campo complessivo E, sarà determinabile via somma vettoriale dei due.

$\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2$

Nella figura è indicata la situazione per P interno alla cavità, ma è chiaro che il discorso è valido per un qualsiasi punto P dello spazio.

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grazie ancora per la risposta

ipotizzare tale sistema equivalente come semplifica i calcoli? inoltre: come mai il campo elettrico all'interno della cavità NON è nullo? Dato che è assimilabile a un conduttore cavo

grazie:)

[RenzoDF]

... grazie ancora per la risposta

Prego, figurati; se posso essere d'aiuto lo faccio volentieri.

... ipotizzare tale sistema equivalente come semplifica i calcoli?

Usando il "sistema equivalente", ovvero andando a considerare separatamente il campo prodotto dalle due sfere, posso usare il teorema di Gauss, non usando il "sistema equivalente", non posso usare Gauss.
Il grande vantaggio è sostanzialmente quello di andare ad analizzare due campi a simmetria sferica estremamente più semplici di quello iniziale a simmetria assiale.

... come mai il campo elettrico all'interno della cavità NON è nullo? Dato che è assimilabile a un conduttore cavo

Non è assimilabile ad un conduttore cavo, la sfera con la cavità non è ovviamente conduttiva.
Anche se il testo non lo precisa, per poter avere una densità di carica volumetrica interna, la sfera deve essere isolante.

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grazie, sei stato molto esaustivo ho un'ultima domanda: i campi elettrici, in questo caso, come sono definiti? mi spiego meglio: sono generati dalle densità di carica volumetrica $ +\rho $ e $ -\rho $? é questa la ragion per cui nel punto P si hanno due campi, la cui risultante è $ E $ ?

grazie

[RenzoDF]

Si, E1 è generato dalla carica contenuta internamente alla parte della sfera S1 di raggio OP e quindi dalla carica Q+ data dal prodotto fra il volume interno al tratteggio rosso e $+\rho$ e così parimenti per E2, dal prodotto fra il volume della parte di sfera S2 interna al tratteggio blu e $-\rho$.
Ne segue che entrambi i campi aumenteranno proporzionalmente alla distanza dal centro della relativa sfera fino al raggiungimento delle rispettive superfici, per poi diminuire secondo il quadrato delle stesse distanze, tendendo asintoticamente a zero per distanze tendenti ad infinito.
La somma dei due campi elettrici parziali nel volume interno alla cavità porta ad un risultato inaspettatamente semplice per il campo totale, lascio a te scoprire quale.
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BTW Per le immagini consiglierei di postarle direttamente sul sito e non usare link a server esterni in quanto, oltre a rendere scomoda la lettura di un thread, la rende impossibile qualora venga ad essere cancellata; se ti va di farlo anche tu modificando il post iniziale, te ne sarei grato.
Non capisco perché non sia richiesto e sottolineato anche nelle regole del Forum.

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grazie ho un'altra cosa che ancora non mi è chiara: nel sistema equivalente che abbiamo supposto, in cui si suppone la sfera maggiore carica con densità volumetrica positiva uniforme, non si dovrebbe considerare agente in P nella sfera minore solo una densità volumetrica di carica negativa uniforme?

[RenzoDF]

... non si dovrebbe considerare agente in P nella sfera minore solo una densità volumetrica di carica negativa uniforme?

Scusa ma non capisco la tua domanda, come già detto più volte, nel punto P verranno a sovrapporsi i due campi associati alle sottosfere cariche componenti, rispettivamente di raggio $r_1$ e $r_2$ ,

fig.2

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Campi che saranno esprimibili quindi come:

$\vec{E}_1=\frac{+\rho }{3\epsilon _0} \vec{r}_1$

$\vec{E}_2=\frac{-\rho }{3\epsilon _0} \vec{r}_2$

dai quali è possibile ottenere la "semplice" (e normalmente inaspettata) risultante $vec{E}$.