Diofantea esponenziale

[Delfad0r]

Salve a tutti.
Avrei un dubbio sulla risoluzione dell'equazione diofantea
$x^{2007}=y^x$, con $x$ e $y$ interi positivi.
Sono riuscito a risolverla nel caso in cui $x$ è primo, trovando le soluzioni $(3,3^{669})$ e $(223, 223^9)$, ma non nel caso generale!
Qualcuno è in grado di aiutarmi?

[hyoukarou]

In attesa che ti risponda qualcuno più competente, hai provato a giocare un po' con le valutazioni p-adiche?

Dovresti avere che \(\forall p. 2007 \cdot v_p(x) = x \cdot v_p(y)\), da cui dovresti poter dedurre che \(\gcd(x, 2007) \neq 1\).
Allora puoi provare a scrivere \(x = 3^\alpha 223^\beta \cdot \lambda\) con \(3 \nmid \lambda\), \(223 \nmid \lambda\), e vedere se si riesce a concludere qualcosa.

[Delfad0r]

In attesa che ti risponda qualcuno più competente, hai provato a giocare un po' con le valutazioni p-adiche?

Dovresti avere che \(\forall p. 2007 \cdot v_p(x) = x \cdot v_p(y)\), da cui dovresti poter dedurre che \(\gcd(x, 2007) \neq 1\).
Allora puoi provare a scrivere \(x = 3^\alpha 223^\beta \cdot \lambda\) con \(3 \nmid \lambda\), \(223 \nmid \lambda\), e vedere se si riesce a concludere qualcosa.

Il tuo metodo sembra sicuramente promettente, ma il testo da cui l'esercizio proviene tratta solamente metodi di risoluzione "elementari" (in particolare, congruenze e scomposizioni), quindi sarebbe lecito (secondo me) aspettarsi una soluzione più "semplice", basata appunto su questi metodi.

[Gi8]

Dobbiamo risolvere negli interi positivi \[ x^{2007} = y^x \qquad \qquad (*)\]
Se $x=1$ si ha $y=1$. Se $y=1$ si ha $x=1$.

Siano allora $x>=2$ e $y>=2$. Esistono e sono unici $p_1<...<p_n$, $q_1<...<q_m$ primi e
$a_1,...,a_n, b_1,...,b_m $ interi positivi tali che $x= p_1^(a_1) *... * p_n^(a_n)$ e $y= q_1^(b_1)*...*q_m^(b_m)$
Da \(\displaystyle (*) \) si ha subito che $m=n$ e $q_i= p_i$ per ogni $i in {1,2,...,n}$

Sviluppando si ottiene \[\displaystyle p_1^{2007 a_1} \cdot \ldots \cdot p_n^{2007 a_n}= p_ 1^{b_1 x} \cdot \ldots \cdot p_n^{b_n x}\]
da cui $b_i * p_1^(a_1) * ... * p_n^(a_n)= 2007 a_i$ per ogni $i =1,...,n$.

Ciò significa che per ogni $j =1,...,n$ si ha $p_j^(a_j) | 2007 a_j$.
Dunque $p_j in {3,223}$: se per assurdo $p_j notin {3,223}$ allora $p_j^(a_j) | a_j$,
e questo è assurdo perchè $p_j^(a_j) > a_j$.

Dunque $n<=2$. Se $n=1$ hai già risolto tu.
Se $n=2$, abbiamo necessariamente $p_1=3$ e $p_2=223$... continua tu

[Delfad0r]

... Supponiamo per assurdo $ a_2>=2 $. Allora $ 223^{a_2} | 2007 a_2 $, da cui segue che $ 223^{a_2-1} | a_2 $, ma si verifica facilmente che ciò non è possibile.
Dunque $ a_2 \in \{0,1\}$.
Consideriamo prima il caso $ a_2=1 $. Allora $ b_1 * 3^{a_1}=9a_1 $ e $ b_2 * 3^{a_1}=9$. Ci sono tre possibilità:

• $ a_1=0 $, da cui $b_1=0, b_2=9, x=223^1, y=223^9$
• $ a_1=1 $, da cui $ b_1=b_2=3, x=3^1*223^1, y=3^3*223^3 $
• $ a_1=2 $, da cui $ b_1=2, b_2=1, x=3^2*223^1, y=3^2*223^1 $

Se invece $ a_2=0 $, si ha che $ b_1 * 3^{a_1}=2007a_1=3^2*223*a_1 $ e $ b_2 * 3^{a_1}=0 $. Necessariamente $ b_2=0 $, mentre per quanto riguarda $ a_1 $ ci sono 4 possibilità:

• $ a_1=0 $, da cui $ b_1=0, x=1, y=1 $
• $ a_1=1 $, da cui $ b_1=3*223, x=3, y=3^{669} $
• $ a_1=2 $, da cui $ b_1=2*223, x=3^2, y=3^{446} $
• $ a_1=3 $, da cui $ b_1=223, x=3^3, y=3^{223} $

Concludendo, tutte le possibili soluzioni $ (x,y) $ sono: $ (1,1),(3,3^{669}),(9,3^{446}),(27,3^{223}),(223,223^9),(669,2007^3),(2007,2007) $. Corretto?

[Gi8]

Le soluzioni sono quelle, ma se stai facendo il caso $n=2$ per forza gli $a_i$ e i $b_i$ devono essere positivi. Altrimenti vai nei casi $n=1$ oppure $n=0$ (cioè $x=y=1$).
Con $n=2$ hai solo due soluzioni: $(3*223,3^3*223^3)$ e $(2007,2007)$.

Prima ho scritto che il caso $n=1$ l'avevi risolto tu. In realtà avevi risolto solo il caso $x=p$, non il caso generale $x= p^n$.

Il caso $n=1$ è con $p=3$ oppure $p=223$.
- se $x= 3^a$ e $y= 3^b$, si ha $3^(2007 a)= 3^(b*3^a)=> b*3^a = 2007a$, da cui $a=1 vv a=2 vv a=3$ e rispettivamente $b=669 vv b=446 vv b=223$. Le soluzioni sono $(3,3^669)$ e $(3^2, 3^446)$ e $(3^3,3^223)$.
- se $x= 223^a$ e $y=223^b$, si ha $223^(2007 a)= 223^(b*223^a)=> b *223^a= 2007a$, da cui $a=1$ e $b=9$. L'unica soluzione è $(223,223^9)$

[Delfad0r]

Ok, grazie mille per l'aiuto
Sto avendo problemi anche con un'altra diofantea, che però non è esponenziale: la posto qui, o è meglio che apro un altro topic?

[Gi8]

Meglio un altro topic, dato che qui il titolo è "Diofantea esponenziale"

PS: ho corretto un paio di cose nel mio ultimo intervento