forme differenziali radiali

[maryenn]

Ciao a tutti qualcuno potrebbe spiegarmi che corrispondenza c'è tra i campi centrali e le forme differenziali radiali?

[ciampax]

Sostanzialmente sono la stessa cosa. Mi spiego meglio: ogni volta che tu hai un campo $F=(a,b,c)$ puoi associarlo ad una 1-forma differenziale $\omega=a\ dx+b\ dy+c\ dz$ e viceversa. La radialità della forma (dipendenza solo dal "raggio" distanza da un punto fissato, ad esempio l'origine) equivale alla centralità del campo.

[maryenn]

okok ho capito grazie..e scusami potresti spiegarmi cos'è in generale una forma differenziale radiale e come si calcola una sua primitiva?

[ciampax]

Allora, in generale una forma differenziale radiale è qualcosa che si può mettere sotto la forma seguente
$$\omega=a(\rho)\ d\rho$$
essendo $\rho$ il "raggio" vettore che parte dall'origine (da cui la dipendenza che dicevo prima). Se sei nel piano, allora $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ da cui
$$d\rho=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2x\ dx+2y\ dy)$$
e quindi l'espressione cartesiana di una forma radiale è
$$\omega=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx+\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy$$
Puoi dimostrare (effettuando le derivate miste) che ogni tale forma è sempre chiusa per cui, essendo definita su un cerchio, è pure esatta. (Le derivate miste assumono la forma
$$\frac{xy}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}\cdot\left[a'(\sqrt{x^2+y^2})\cdot\sqrt{x^2+y^2}-a(\sqrt{x^2+y^2})\right]$$
come puoi calcolare). Questo ti permette di dire che per calcolare una primitiva $f(\sqrt{x^2+y^2})$ basta eseguire il seguente calcolo: dal momento che deve essere
$$f_x=\frac{x f'(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad f_y=\frac{y f'(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
allora deve essere $f'(\sqrt{x^2+y^2})=a(\sqrt{x^2+y^2})$. Ritornando allora alla variabile $\rho$ la primitiva si ottiene integrando al modo seguente
$$f(\rho)=\int a(\rho)\ d\rho+c$$