Dimostrazione su fascio di coniche

[ROMA91]

Il prof. chiede spesso all'esame perché la combinazione lineare $\lambdaf(x_1,x_2,x_3) + \mug(x_1,x_2,x_3)$, dove $f(x_1,x_2,x_3)$ e $g((x_1,x_2,x_3)$ rappresentano due generiche coniche del fascio in coordinate omogenee, possa rappresentare tutte le coniche del fascio. Ho notato che non è mai soddisfatto delle risposte. A me la dimostrazione riesce immediata solo nel caso di fascio di rette perché riesco a dimostrarla anche tramite i versori delle rette, ma, nel caso delle coniche, non mi riesce per nulla intuitiva né mi riesce intuitivo il fatto che debba essere lineare. Non pretendo la dimostrazione sul forum, ma solo qualche dritta per schiarirmi le idee o, magari, un link a un sito che renda le cose un po' più intuitive. Grazie

[Seneca]

Che definizione ti è stata data di fascio di coniche?

[ROMA91]

Innanzitutto, grazie $oo$ per il tuo intervento! Definizione? Quella riportata nel messaggio: $\lambdaf(x_1,x_2,x_3) + \mug(x_1,x_2,x_3)$, cioè la combinazione lineare delle equazioni di due generiche coniche - $\gamma_1$ e $\gamma_2$ - espresse in coordinate omogenee - appartenenti al fascio individuato da quattro punti - detti base - per cui passano $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Il prof., inoltre, ha spiegato che, dato un generico pto del piano - $P_0$ -, esso individua sempre una conica che passa anche per la base - i suddetti quattro punti -. E ciò è chiarissimo. Cinque punti individuano i coefficienti dell'equazione, cioè una conica. Prosegue: in generale, $f(P_0)$ e $g(P_0)$ non varranno $0$. Bene. Siano, allora, i loro rispettivi valori $a$ e $b$. Ma, allora, $\lambdaa + \mub = o$ purché $\lambda : \mu = -b : a$. Benissimo. A me, però, sembra che, così, si sia soltanto dimostrato che la nostra combinazione lineare è nulla in $P_o$. Perché mai $f$ e $g$ - che rappresentano $\gamma1$ e $\gamma_2$ - dovrebbero sempre mantenere costanti i rispettivi valori di $a$ e $b$ lungo i pti $in \gamma_0$ - rappresentando $\gamma_0$ la conica passante per $P_0$ e per la base del fascio - ? Se non esiste questa ulteriore condizione , mi sembra che quanto affermato non possa reggere. Cioè, è chiaro che in tutti i pti $in \gamma_0$ la corrispondente equazione - sia essa $\f_0$ - varrà $0$, ma non capisco perché in tutti i punti $in \gamma_0$ $f$ e $g$ - che rappresentano le equazioni di altre due coniche diverse da $\gamma_0$ - debbano assumere valori costanti - $a$ e $b$, rispettivamente -. Chi me l'assicura? Penso che ci siano condizioni di proiettività o altro che ancora non abbiamo studiato che possano giustificare la linearità nella rappresentabilità dei fasci di coniche, ma quella esposta - anche a livello elementare - non mi sembra una vera dimostrazione. Non è per voler essere ingiustificatamente critico, ma solo per riuscire a capire e, soprattutto, riuscire a capire se "sotto" ci sia qualcosa di più interessante. Grazie nuovamente!