Dubbi pre-esame!

[Zumbo]

Salve a tutti ragazzi.. mancano ormai pochissimi giorni all'esame e tantissimi dubbi mi attanagliano! Spero mi possiate dare una mano nel chiarirmi le idee vista sempre la vostra disponibilità.
Più si avvicina l'esame più i dubbi aumentano!Help me!
1) Ho un dubbio su questo esercizio, il mio professore ha scritto:
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sen 1/h $ Studiando tale limite, il prof dice che il limite tende a 0 per a-1>0 (a>1), mentre per a=1 e a-1<0 (a<1) il limite non esiste. Per a=1 son d'accordo che non esiste ma perchè non dovrebbe esistere per a<1? Ma com'è possibile Mi sembra proprio strano!

2) Altro limite che non mi torna è il seguente.. $ lim_(x -> 0+) ax^(a-1) sen(1/x) - x^(a-2) cos(1/x) $ Studiando il limite secondo il prof risulta che per a>2 il limite tende a 0, mentre per 1<a<=2 e per a<=1 non esiste! ma non riesco a convicermi...

3) Un esercizio che invece non so proprio come svolgere è il seguente:
$ f(x)= e^(-x)+x-e $ Le richieste sono: a) Quante soluzioni ha f(x)=0? b) Qual è il più ampio intervallo contente x=1 su cui f è invertibile?

4) E' giusto dire che questo limite tende a 0 per confronto tra infiniti???

$ lim_(x -> +-oo) e^(-|x|) (x^2-5x+6)^(1/2)=0 $
Vale anche tra prodotto di funzioni il confronto tra infiniti e non solo su quozienti di funzioni???


Grazie mille in anticipo matematici! :3

[lobacevskij]

PUNTO 2

Per prima cosa:

$\lim_{x \to 0^+}ax^(a-1)sen(1/x)-x^(a-2)cos(1/x)=\lim_{x \to 0^+}ax^(a-1)sen(1/x)-\lim_{x \to 0^+}x^(a-2)cos(1/x)$

Se $a>2$, allora entrambi gli esponenti di x sono positivi (rispettivamente, se $a-2=n$, avrai $x^(n+1)$ e $x^n$. Si tratta dunque solo di calcolare questi due limiti, e vedi che entrambi tendono a $0$.

Per $a=2$, il secondo limite si riduce al limite, per $x->0^+$, di $cos(1/x)$, che non esiste, quindi quello che fa l'altro neanche ti interessa. Già questo dovrebbe bastare per farti dire che per $a<=2$ il limite "globale" non esiste.
In ogni caso, per puro scrupolo, per $1<a<2$ hai che sicuramente il secondo limite avrà il termine in $x$ con esponente negativo, per cui potrai riscriverlo come:

$\lim_{x \to 0^+}(1/x^|k|)cos(1/x)$ con $k=a-2<0$

e anche questo non esiste, per cui sei esattamente nel caso di $a=2$.

Per $a=1$, il primo limite diventa il limite (con l'aggiunta dell'ininfluente fattore $a$), per $x->0^+$, di $sen(1/x)$, che non esiste, e il secondo puoi scriverlo sempre come nel caso $1<a<2$, arrivando ovviamente alla conclusione della sua non esistenza.
Infine, per $a<1$, entrambi gli $x$ hanno esponente negativo, per cui potrai riscriverli entrambi come nel caso $1<a<2$ e ti accorgerai che, ancora una volta, entrambi i limiti non esistono (ma d'altronde già sapere che uno dei due non esisteva bastava per farti dire che non esisteva il limite "globale").

[Zumbo]

Non riesco a capire come mai.. per a>2 il limite tende a 0.. Secondo dovrebbe non esistere anche per a>2 perchè capisco che il primo termine del secondo limite tende a 0... ma c'è anche il fattore cos(1/n) il cui argomento tende ad infinito, quindi significa che un limite che non esiste per 0 dà 0? Mi suona un pò strano!

[lobacevskij]

Se ti può aiutare, digita su google $sen(1/x)$, $xsen(1/x)$ e pure $(1/x)sen(1/x)$. Dai grafici che ti compariranno vedrai che solo per $xsen(1/x)$ le ampiezze si smorzano andando verso l'origine, mentre rimangono costanti per $sen(1/x)$ e addirittura si amplificano per $(1/x)sen(1/x)$. Guardando i vari grafici, se in modo terra terra, perchè questo in soldoni è il limite, ti chiedessi a cosa tende la $y$ delle funzioni quando $x->0$, penso non avresti dubbi a dirmi che nel caso di $xsen(1/x)$ tende a $0$, mentre negli altri casi non esiste (infatti la funzione continua ad oscillare su valori opposti e costanti (caso $sen(1/x)$) o addirittura via via sempre più grandi (caso $(1/x)sen(1/x)$).

Visto che quanto detto però è poco matematico e molto intuitivo, una spiegazione più rigorosa ma altrettanto semplice del perchè $xsen(1/x)$ si comporti così la puoi trovare anche qua: http://biomat.dimi.uniud.it/presenta/p14lsen.pdf
e se applichi un ragionamento analogo agli altri due casi risulta altrettanto evidente che il loro limite non può esistere.

Per le funzioni $cos(1/x)$, $xcos(1/x)$ e $(1/x)cos(1/x)$ il ragionamento è assolutamente lo stesso.