Successione convergente limitata in spazio vettoriale topologico

[DavideGenova]

Ciao, amici! Leggo che se una successione \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset E\) in uno spazio lineare topologico $E$ ha limite, allora \( \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) è un insieme limitato, cioè per ogni intorno dello $0$ esiste un $n>0$ tale che \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\lambda U\) per ogni \( |\lambda|\geq n \). Il testo propone l'esercizio dopo due sole pagine di teoria sugli spazi vettoriali topologici e non ho la minima idea di come affrontarlo.
Conosco qualche proprietà di continuità e apertura/chiusura di somma e moltiplicazione, ma non ne ricavo granché, se non che, dato che $\lim_n x_n=x$, detta \(\mathcal{N}(x)\) la famiglia di tutti gli intorni di $x$\[\forall U\in \mathcal{N}(x)\quad\exists N\in\mathbb{N}^{+}:\forall n\geq N\quad x_n\in U\]e quindi, grazie al fatto che se $A$ è un aperto anche $A+x$ lo è,\[\forall U\in \mathcal{N}(0)\quad\exists N\in\mathbb{N}^{+}:\forall n\geq N\quad x_n\in U+x\]
perciò per ogni intorno $U$ di $0$ tutta la sottosuccessione \(\{x_N,x_{N+1},...\}\) è contenuta in \(U+x\cup\{x_1,...,x_{N-1}\}\).
Se quindi per ogni \(V\in\mathcal{N}(0)\)esistesse un $n$ naturale tale che per ogni \(|\lambda|\geq n\) l'insieme \(U+x\cup\{x_1,...,x_{N-1}\}\) fosse contenuto in $\lambda V$... ma non saprei proprio come dimostrarlo...
So che un insieme finito come \(\{x_1,...,x_{N-1}\}\) è limitato e che l'unione di due limitati è limitata, quindi se fosse possibile dimostrare che $U+x\subset \lambda U$ per ogni $\lambda$ di modulo non minore di un certo naturale...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!