Matrice definita positiva

[Light_]

Salve a tutti ,

data un matrice $2X2$

$ ( ( -k , 1/2kl ),( 1/2kl , -1/4kl^2lambda ) ) $ con $ k,l>0 $

Devo assicurarmi che è definita positiva se $lambda>0$ , oltre al metodo che utilizza gli autovalori , che a me non viene , ho provato ad utilizzare il metodo di sylvester senza risultato , come si vede ad occhio.

Ora vi chiedo , esiste un metodo più semplice della ricerca degli autovalori per affermare se una matrice $2X2$ è definita positiva ?

Grazie per l' aiuto.

[ciampax]

I minori principali devono essere tutti positivi. Nel tuo caso deve essere $-k>0$ e il determinante maggiore di zero, ma già la prima non è verificata.

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Ma $ k>0 $ , è un coefficiente elastico , errore del libro ?

[ciampax]

Il criterio quello è. Magari il primo termine è $k$?

[Light_]

Sarà un errore del testo ,

per quanto riguarda invece il caso di una matrice definita negativa ,

il criterio di Sylvester mi dice

Data una matrice A di ordine $n$, essa è definita negativa se e solo se $(−1)^k |A_k| > 0$ per ogni $k = 1, . . . , n$ ,

Ma chi è $k$ in questo caso ?

[ciampax]

$k$ nel criterio di Sylvester rappresenta l'ordine del minore principale, cioè la dimensione della matrice associata. Per definizione il minore principale di ordine $k$ di una matrice di ordine $n$ è il determinate della sottomatrice di ordine $k$ ottenuta cancellando le ultime $n-k$ righe e colonne. Per cui, ad esempio, $A_n$ è tutta la matrice, $A_{n-1}$ è la matrice ottenuta cancellando l'ultima riga e l'ultima colonna, $A_1$è l'elemento di posto $1,1$. Ritornando alla tua questione:
$$(-1)^1|A_1|=-1\cdot(-k)=k>0$$
$$(-1)^2|A_2|=\frac{k^2 l^2}{4}\left(\lambda-1\right)$$
per cui se $\lambda>1$ la matrice è definita negativa.

[Light_]

Grazie per il tuo tempo !