condensatore: proporzionalità tra correnti al suo interno

[raff5184]

Ciao a tutti,
breve e semplice quesito di fisica.

E' dato un condensatore piano fatto di due dischi paralleli di raggio $R$ al quale è applicata una tensione sinusoidale. Trascurare gli effetti di bordo.

Dovendo trovare i valori del campo magnetico (tra le piastre) in $R$ e in un punto a distanza radiale $r<R$ calcolo le correnti concatenate.
Il mio dubbio è che risulta che la corrente usata per trovare $B$ in $r$ vale:
$i_r=i_R*(r/R)^2$
ma non capisco perché. Avevo pensato che questa proporzionalità provenisse dalle aree:
$2piR^2i_r=2pir^2i_R$ ma ha senso?

[RenzoDF]

Certo, supponendo trascurabili gli effetti ai bordi, come necessario se non si vuole andare a complicare terribilmente il problema, il campo elettrico fra le armature sarà costante e di conseguenza anche la densità della corrente di spostamento $\sigma_S$ ; notando poi che, per la simmetria del problema, le linee di forza del campo magnetico saranno circolari e centrate sull'asse del condensatore, detto campo sarà funzione di $r$ e si potrà andare a calcolare il suo valore determinando la corrente di spostamento concatenata a detta linea di forza via Ampere-Maxwell.

Visto che la totale corrente di spostamento $i_S(R)$ deve essere pari a quella di conduzione $i_C$, il valore della sua densità superficiale $\sigma_S$ sarà semplicemente dato dal rapporto fra corrente di conduzione e superficie totale dell'armatura

$\sigma_{S}=\frac{i_{C}}{2\pi R^2}\qquad \rightarrow \qquad i_{S}(r)=S\sigma_S= \frac{r^2}{R^2}i_C$

La geometria è la seguente

fig.1

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E' interessante vedere dove "punta" il prodotto vettoriale $\vec{E}\times \vec{B}$.