Salve
ho dei dubbi riguardo il seguente esercizio:
Assegnata la funzione
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-x^2} -x} \)
1)Determinare \(\displaystyle f^{-1} (0, +\infty) \)
2)Spiegare utilizzando la definizione il significato della seguente relazione
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty \)
1)Nel punto uno mi viene chiesto di determinare la funzione inversa di f(x),
Ho studiato la funzione per avere un'idea di come fosse fatta
Calcolando il dominio
\(\displaystyle D_f = (0,1) \cup (1,2] \)
Studiandone il segno
\(\displaystyle f(x) \ge 0\) per \(\displaystyle0<x<1 \)
\(\displaystyle f(x)<0\) per \(\displaystyle1<x \le 2 \)
Studiando il comportamento della \(\displaystyle f(x) \) agli estremi del dominio
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty \)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = -\frac{1}{2} \)
Ho fatto ciò per poter disegnare il grafico e per poter giungere alla conclusione che non è iniettiva e quindi non invertibile.
Domanda: Era necessario disegnare un grafico approssimativo della funzione per poter dire che non era iniettiva e quindi non invertibile?
E' possibile giungere alla stessa conclusione per via algebrica risparmiando tempo o magari facendo un altro tipo di ragionamento?
Per quale motivo il calcolatore mi dice che è possibile determinare la funzione inversa? Ho sbagliato qualcosa ?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... t%282x+-+x^2%29-x%29%29
2)Nel punto due mi viene chiesto di spiegare il risultato del limite utilizzando la definizione
Utilizzo la definizione di limite infinito per \(\displaystyle x \) che tende a un valore finito
Quindi devo mostrare utilizzando la sola definizione che comunque si prenda un M>0
\(\displaystyle f(x)>M \)
vale per tutte le x di un intorno sinistro del punto 1
Impostato il problema non riesco ad ottenere nessun risultato apprezzabile...aiuto!