[Controlli Automatici] Risposta a regime

[Andy8585]

Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito?
Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$ y''(t)+2*y'+y(t)=u(t) $


Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali
$ r(t)= (4+sin(t))*\delta_(-1)(t) $ e $ d(t)=0.2*delta_(-1)(t) $


Ho provato a risolverlo...Le fdt che ho ottenuto sono:
$ P(s)=1/(s+1)^2 $
$ W_R(s)=2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ W_D(s)=(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $
fdt dei segnali in ingresso:
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$
Credo che per poter risolvere l'esercizio dovrei calcolare:
$lim_(s->0) s*R(s)*W_R(s)$ e $lim_(s->0) s*D(s)*W_D(s)$ e sommare i risultati.

Però ho dei dubbi, è giusto il mio ragionamento? Grazie

[D4lF4zZI0]

Si è corretto ( non ho controllato le fdt ), ma sembra corretto.
La risposta del sistema è la somma della risposta dovuta al riferimento e della risposta dovuta al disturbo. Fatta questa somma ne fai il limite per il regime.

[Andy8585]

Il mio dubbio nasce perché l'esercizio originario prevedeva sul ramo diretto, invece di $ 2/(s+1) $, un $ k/(s+1) $ e lo studio della stabilità al variare di k.
Il sistema diventava instabile per $ k>1/50 $.
Con questi calcoli l'errore a regime mi viene piccolissimo, ma $k=2$ non dovrebbe rendermi il sistema instabile?

[D4lF4zZI0]

Se hai fatto bene i calcoli, si dovrebbe essere instabile.
Fai una cosa, posta l'esercizio originario e vediamo un pò

[Andy8585]

Assegnato il diagramma a blocchi in figura, con P(s) caratterizzato dal modello ingresso-uscita:
$y''(t)+2⋅y'+y(t)=u(t)$

1) studiare la stabilità del sistema a ciclo chiuso al variare di K;
2) Calcolare la risposta del sistema a regime quando in ingresso al sistema sono applicati i segnali $r(t)=(4+sin(t))⋅δ_(−1)(t)$ e $d(t)=0.2⋅δ_(−1)(t)$
3) Per la fdt P(s) individuare i modi di evoluzione e tracciarne l'andamento qualitativo

[D4lF4zZI0]

1) Il sistema risulta stabile per $ 0<k<1/50 $. Quindi non puoi mettere $k=2$.
2) Come stavi facendo andava bene ( ovviamente con il valore di $k$ idoneo ) ; quindi continua e calcolati l'errore a regime

[Andy8585]

Al punto 2 mi sono dimenticato di scrivere che il calcolo della risposta a regime va fatta per $K=2$.
Quindi lo richiede la traccia, stranamente.. Probabilmente dovrei rispondere che l'errore diverge senza fare calcoli.

Ma le fdt dei segnali di ingresso che ho determinato vanno bene?
$R(s)=4/s+1/(1+s^2)$
$D(s)=0.2/s$

Vorrei sapere se la trasformazione che ho fatto va bene

[D4lF4zZI0]

Cosa curiosa...ho calcolato la risposta del sistema portandomi dietro $k$ e stranamente se metto $k=2$ la risposta non diverge. Hmm devo ricontrollare meglio la cosa.
Cmq si le trasformazioni sono corrette ed anche $P(s)$ lo è

[D4lF4zZI0]

ok si trova, avevo sbagliato un passaggio finale. Con $k=2$ l'uscita diverge

[Andy8585]

Io mi ritrovo a risolvere questi limiti (per $K=2$)

$ lim_(s->0) s*(4/s+1/(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801)=lim_(s->0) s*(4*s^2+s+4)/(s*(1+s^2))*2/(s^3+3*s^2+3*s+801) $
$ lim_(s->0) s*0.2/s*(s+1)^2/((s+2)*(s^3+3*s^2+3*s+801)) $

ottengo però valori piccoli, non diverge l'uscita